1. Mai intai, sa aratam ca f este injectiva. In esenta, injectivitatea inseamna ca duce elemente diferite din domeniu in elemente diferite din codomeniu, ceea ce este echivalent cu faptul ca daca functia da aceeasi valoare pentru 2 elemente, atunci ele sunt egale.
Pentru [tex]f(x) = 5x-10[/tex], fie [tex]x,y\epsilon \mathbb{R}[/tex] astfel incat [tex]f(x)=f(y)[/tex], adica avem:
[tex]5x - 10 = 5x - 10[/tex]
de unde rezulta imediat prin calcul ca [tex]x=y[/tex], deci functia noasta este injectiva.
Surjectivitatea inseamna ca pentru orice valoare din codomeniu, avem un element din domeniu care este dus prin functia noastra in valoarea din codomeniu.
Fie [tex]y\epsilon\mathbb{R}[/tex] (din codomeniu). Acum trebuie sa aratam ca avem un element in domeniul functiei care este dus in y. Sa luam [tex]x=\frac{y+10}{5}[/tex]. Atunci:
[tex]f(x) = 5\frac{y+10}{5} -10[/tex]
iar din calcul rezulta ca [tex]f(x)=y[/tex], deci functia este surjectiva.
Pentru al doilea exercitiu, facem mai intai [tex]f\circ g[/tex]. Avem:
[tex](f \circ g)(x)=f(g(x)) = 3g(x)-1= \left \{ {{3(x+1)-1, x \leq 2} \atop {3(2x+3)-1, x\ \textgreater \ 2}} \right. [/tex]
Facand calculele mai departe se obtine rezultatul dorit. Acum, pentru [tex]g \circ f[/tex].
[tex](g \circ f)(x)= \left \{ {{f(x)+1, f(x) \leq 2} \atop {2f(x)+3, f(x)\ \textgreater \ 2}} \right. = \left \{ {{3x-1+1, 3x-1 \leq 2} \atop {2(3x-1)+3, 3x-1\ \textgreater \ 2}} \right. [/tex]
De aici, doar faci calculele ca sa o aduci la o forma mai simpla si s-a rezolvat problema.
