a)
Vom aranja cartonasele intr-un triunghi in care pe randul k se afla de k ori numarul k, pentru a urmari mai usor rezolvarea si pentru a o vizualiza:
1
2 2
3 3 3
...
Fie m randul de dinaintea cartonasului de pe pozitia n, astfel:
[tex]\underbrace{1,\overbrace{2,2}^{\text{2 termeni}},\overbrace{3,3,3}^{\text{3 termeni}},...,\overbrace{m,m,...,m}^{\text{m termeni}},\overbrace{(m+1),(m+1),...,(m+1)}^{\text{mai putin de (m+1) termeni}}}_{\text{n termeni}}[/tex]
Stim ca pe randul k se afla k termeni. Asadar, pe toate randurile pana la m inclusiv, se vor afla: 1 + 2 + 3 + ... + m = m(m + 1) / 2 termeni:
[tex]\underbrace{\overbrace{1,2,2,3,3,3,...,m,m,...,m,}^{\frac{m(m+1)}{2}\text{ termeni}}\overbrace{(m+1),(m+1),...,(m+1)}^{\text{x termeni}}}_{\text{n termeni}}[/tex]
De aici se observa ca x = n - m(m+1)/2
Acum putem calcula suma in functie de m. Suma termenilor unui rand k este:
[tex]\underbrace{k + k + ... + k}_{\text{de k ori}} = k \cdot k = k^2[/tex]
Suma termenilor de pe toate randurile pana la randul m este:
[tex]s=1^2+2^2+...+m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
Iar suma celor x termeni ramasi de pe randul (m+1) este:
[tex]s'=\underbrace{(m+1)+(m+1)+...+(m+1)}_{\text{x termeni}}=x(m+1)=\\=(n-\frac{m(m+1)}{2})(m+1)[/tex]
Suma primilor n termeni in functie de m este:
[tex]S=s+s'=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(n-\frac{m(m+1)}{2})(m+1)=\\\\
=\frac{m+1}{2}(\frac{m(2m+1)+6n-3m(m+1)}{3})=\boxed{\frac{(m+1)(6n-m(m+2))}{6}}[/tex]
Acum mai trebuie sa-l aflam pe m.
Stim ca pana la randul m sunt m(m+1)/2 termeni. Astfel, m este cel mai mare numar natural astfel incat m(m+1)/2 ≤ n
Aceasta este o inecuatie de gradul al doilea cu necunoscuta in m:
[tex]\frac{m(m+1)}{2}\leq n\rightarrow m(m+1)\leq 2n\\\\
m^2+m-2n\leq 0\\\\
\Delta=1+4\cdot2n=1+8n\\\\
m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8n}}{2}\\\\
a\ \textgreater \ 0\rightarrow m\in [\frac{-1-\sqrt{1+8n}}{2},\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}]\\\\
max(m)=
\boxed{\lfloor \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}\rfloor}\\\
\lfloor x\rfloor=\text{partea intreaga a lui x}[/tex]
La b), problema aflarii numarului de pe cartonas este inclusa in problema aflarii lui m:
Daca m(m+1)/2 = n (inseamna ca elementul de pe pozitia n este chiar ultimul pe rand, asadar, nu va mai exista un rand in plus), atunci cartonasul va fi m
Altfel, cartonasul va fi m + 1
