haide sa numim suma 1/(1*3)+1(3*5)+1(5*7)+...+1/(31*33) S (S=1/(1*3)+1(3*5)+1(5*7)+...+1/(31*33)=16/33). observam ca daca inmultim cu 2 obtinem 2S=2/(1*3)+2/(3*5)+2/(5*7)+...+2/(31*33). un aspect interesant este ca ai acum la numarator cate un numar egal cu diferenta numitorilor (2=3-1=5-3=7-5 etc). poti scrie 2S=(3-1)/(1*3)+(5-3)/(3*5)+(7-5)/(5*7)+...(33-31)/(31*33). cunosti faptul ca [tex] \frac{a-b}{c}= \frac{a}{c}- \frac{b}{c} [/tex] deci rezulta 2S=3/(1*3)-1/(1*3)+5/(3*5)-3(3*5)+7/(5*7)-5/(5*7)+...+33/(31*33)-31/(31*33). faci simplificarile necesare si obtii 2S=1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/31-1/33. dupa cum poti observa avem o gramada de termeni opusi care se reduc (-1/3+1/3 e 0, -1/5+1/5 e 0, -1/7+1/7 e 0 si asa mai departe, pana la -1/31+1/31). reducand acesti termeni obtinem 1/1-1/33, amplificam prima fractie cu 33 pt a aduce la acelasi numitor si obtinem 2S=(33-1)/33=32/33. impartim la 2 si obtinem S=16/33 (ceea ce trebuia demonstrat)
