a) Din AD, BC si GH perpendiculare pe aceeasi dreapta, AB, rezulta ca
AD || GH || BC si deci avem tr BGH asemenea cu tr BDA, deci:
[tex] \frac{BH}{BA} = \frac{BG}{BD} [/tex] = \frac{GH}{AD} [/tex] si din proprietatile rapoartelor egale deducem:
[tex] \frac{BH}{AB-BH} = \frac{BG}{BD-BG} [/tex], adica
[tex] \frac{BH}{AH} = \frac{BG}{GD} [/tex] (rel 1)
Facem produsul mezilor=produsul extremilor si obtinem exact:
AH * GB = HB * DG ;
b) De asemenea avem triunghiul AGH asemenea cu tr ACB, deci:
[tex] \frac{AH}{AB} = \frac{AG}{AC} [/tex] = \frac{GH}{BC} [/tex] si din proprietatile rapoartelor egale deducem:
[tex] \frac{AH}{AB-AH} = \frac{AG}{AC-AG} [/tex], adica
[tex] \frac{AH}{HB} = \frac{AG}{GC} [/tex] (rel 2)
Facem produsul mezilor=produsul extremilor si obtinem exact:
AH * GC = HB * AG ;
c) Din AD || BC rezulta triung DGA asemenea cu tr BGC, deci:
[tex] \frac{DC}{BG} = \frac{AG}{GC} [/tex] = \frac{AD}{BC} [/tex] (rel 3)
Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) rezulta egalitatea:
[tex] \frac{AH}{HB} = \frac{DG}{GB} = \frac{AG}{GC} ] = \frac{AD}{BC} [/tex]
adica:
[tex] \frac{AH}{HB} = \frac{AD}{BC} [/tex] ceea ce este exact:
AH * BC = HB * AD
