Fie B' intersectia dintre BG cu AC (deci BB' este mediana) si C' intersectia dintre CG cu AB (CC' este de asemenea mediana).
Stim ca G, centrul de greutate al tr ABC este situat la [tex] \frac{1}{3} [/tex] de baza si [tex] \frac{2}{3} [/tex] de varf (pentru orice varf).
Din GD||AB se determina rapoartele de asemanare (egale):
[tex] \frac{CG}{CC'} = \frac{CD}{CB} = \frac{2}{3} [/tex], deci
CD=CB*[tex] \frac{2}{3} [/tex]
BD = CB-CD si inlocuim CD gasit mai sus:
BD = CB - CB*[tex] \frac{2}{3} [/tex]
BD = CB* [tex] \frac{1}{3} [/tex] (rel 1)
De asemenea, din GE||AC avem rapoartele egale:
[tex] \frac{BG}{BB'} = \frac{BE}{BC} = \frac{2}{3} [/tex] , deci
BE=BC*[tex] \frac{2}{3} [/tex]
CE = BC-BE si inlocuim BE gasit mai sus:
CE = BC - BC*[tex] \frac{2}{3} [/tex]
CE = BC* [tex] \frac{1}{3} [/tex] (rel 2)
DE = BC-BD-CE
DE = BC - BC* [tex] \frac{1}{3} [/tex] - BC* [tex] \frac{1}{3} [/tex]
DE = BC* [tex] \frac{1}{3} [/tex] (rel 3)
Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) rezulta BD=DE=CE.
