Vom arata ca nu exista solutii pentru egalitatea data.
5[tex] x^{2} [/tex]+4[tex] y^{2} [/tex]=[tex] 17^{1997} [/tex]
Calculam ultima cifra a lui [tex] 17^{1997} [/tex]
Ulima cifra a puterilor lui 7 se repeta din 4 in 4:
U([tex] 7^{1} [/tex]) = 7
U([tex] 7^{2} [/tex]) = 9
U([tex] 7^{3} [/tex]) = 3
U([tex] 7^{4} [/tex]) = 1
U([tex] 7^{5} [/tex]) = 7
U([tex] 7^{6} [/tex]) = 9
..................
Observam ca 1997=4*499+1 deci ultima cifra a lui [tex] 17^{1997} [/tex] este 7, deci in membrul drept avem un nr impar.
In membrul stang observam ca 4[tex] y^{2} [/tex] este mereu par, indiferent de paritatea lui y.
Daca x ar fi par, atunci si 5[tex] x^{2} [/tex] ar fi par, deci ar trebui ca:
par+par=impar, ceea ce este fals, deci x trebuie sa fie impar, deci 5[tex] x^{2} [/tex] are ultima cifra 5.
Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi {0, 1, 4, 5, 6, 9}, deci 4[tex] y^{2} [/tex] poate avea ultima cifra {0, 4, 6}. Observam ca 5 adunat cu oricare dintre cifrele 0, 4 sau 6 dau ultima cifra diferita de 7, deci egalitatea din enunt nu poate avea loc pt nici un nr nat.
