Triunghiul APD este asemenea cu triunghiul CPB (din paralelismul lui AD cu BC), deci avem raportul de asemanare:
[tex] \frac{a}{b} = \frac{PA}{PC} [/tex] , adica
PC=[tex] \frac{b*PA}{a} [/tex]
Cum PQ || AD, inseamna ca triunghiul CPQ este asemenea cu triunghiul CAD, deci:
[tex] \frac{PC}{AC} = \frac{PQ}{a} [/tex], adica
[tex] \frac{PC}{PA+PC} = \frac{PQ}{a} [/tex], deci:
PQ=[tex] \frac{a*PC}{PA+PC} [/tex]
Inlocuim PC din prima relatie de mai sus in ultima rel si obtinem:
PQ=[tex] \frac{a* \frac{b*PA}{a} }{PA+ \frac{b*PA}{a} } [/tex]
PQ=[tex] \frac{b*PA}{ \frac{b*PA+a*PA}{a} } [/tex]
PQ=[tex] \frac{a*b*PA}{b*PA+a*PA} [/tex]
PQ=[tex] \frac{a*b}{b+a} [/tex]
