La inceput rupe cele 9 bucati. Apoi rupe, pe rand, cate o bucata in alte 9 bucati.
a) Dupa ce rupe prima bucata din cele 9 in alte 9 bucati, va avea:
9+8=17 bucati
Apoi rupe a doua bucata din cele 9 initiale in alte 9 bucati, deci va avea:
9+9+7=25 bucati
Apoi rupe a treia bucata din cele 9 initiale in alte 9 bucati, deci va avea:
9+9+9+6=33 bucati, deci raspunsul este DA, poate obtine 33 bucati la un moment dat (nu toate egale, dar problema nu impune aceasta conditie).
b) Urmand rationamentul anterior, dupa ce rupe toate cele 9 bucati initiale in cate 9 bucati va avea:
9*9+9*9+9*9+9*9+9*9+9*9+9*9+9*9+9*9=9*81=729 bucati
Mai rupe cate una din cele 729 bucati in alte 9 bucati mai mici si obtine:
9+728=737 bucati (nu toate egale: 9 sunt cele mai mici, iar 728 sunt mai mari)
Mai rupe una mare in alte 9, si inca una, si tot asa (observam ca nu va trebui sa le rupa pe toate, pentru ca ar avea, atunci: 729*9=6561 bucati, adica mai mult de 2011).
Observam ca au loc urmatoarele relatii:
Dupa ce se rupe prima data afisul in 9 bucati, apoi prima bucata in alte 9 bucati, la fiecare bucata rupta avem:
9-1+1*9=9+1*(9-1)=9+1*8=17 buc
Dupa ce se rupe si a doua bucata in alte 9, avem:
9-2+2*9=9+2*(9-1)=9+2*8=25 buc
Dupa ce se rupe si a treia bucata in alte 9, avem:
9-3+3*9=9+3*(9-1)=9+3*8=9+24=33 buc
si asa mai departe pana se rupe si ultima din cele 9 bucati initiale, deci vom avea:
9-9+9*9=9+9*(9-1)=9+9*8=9*9=81 bucati.
Pe acestea incepem sa le rupem, cate una, in alte 9 bucati mai mici: dupa ce rupem prima din cele 81 de buc in alte 9 vom avea:
81-1+1*9=81+1*(9-1)=81+1*8=89 bucati
Dupa ce se rupe si a doua bucata din cele 81 in alte 9, avem:
81-2+2*9=81+2*(9-1)=81+2*8=97 bucati
si tot asa pana terminam si ultima din cele 81 bucati, pe care o rupem in alte 9 si vom avea:
81-81+81*9=81+81*(9-1)=81+81*8=81*9=729 bucati egale!
Incepem, acum sa rupem fiecare din cele 729 bucati egale in alte 9 bucati mai mici: dupa ce rupem prima din cele 729 de buc in alte 9 vom avea:
729-1+1*9=729+1*(9-1)=729+1*8=737 bucati
Dupa ce se rupe si a doua bucata din cele 729 in alte 9, avem:
729-2+2*9=729+2*(9-1)=729+2*8=745 bucati
si tot asa, observam ca daca ajungem la bucata n din cele din cele 729 sa o rupem in alte 9 bucati, vom avea formula:
729-n+n*9=729+n*(9-1)=729+n*8=2011, adica
8*n=1282
4*n=641 nu are solutii numere naturale, deci nu poate obtine 2011 rupand in cate 9 bucati.
