Răspuns :
Sirul are 2015 temeni care sunt:
1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; 55; 66; 78; .... ; 2031120
Dam fiecarui termen un numar de ordine n cu valori de la 1 la 2015.
Observam ca fiecare termen din sir este o suma Gauss
a numerelor de la 1 pana la numarul lui de ordine.
Exemplificare:
Termenul 4 = 10 = (4×5)/2
Termenul 10 = 55 = (10×11)/2
Termenul 11 = 66 = (11×12)/2
Rezulta ca:
Termenul 2015 = (2015×2016)/2 = 1015×1008 = 2031120
Trebuie sa aflam cati termeni au ultima cifra nenula, dar e mai usor sa aflam numarul de termeni cu ultima cifra = zero.
Vom face rationamentul pe formula lui Gauss deoarece fiecare termen este o suma Gauss.
[tex]\displaystyle \bf\\ T_n = \frac{n(n+1)}{2} = \overline{abc.....0}\\\\ \text{\bf Pentu ca ultima cifra sa fie zero trebuie ca termenul sa aiba}\\ \text{\bf in descompunerea lui in factori primi, cel putin un 2 si un 5.}\\ \text{\bf Rezulta ca produsul }\\ n(n+1) \\ \text{\bf trebuie sa aiba in descompunere cel putin un } 2^2=4 ~si~un~ 5\\ \text{\bf astfel incat dupa impartirea la 2 sa ramana un 2 si un 5.}\\\\ [/tex]
Cautam numere n astfel incat n(n+1) sa fie multiplu de 4 si de 5.
Accentuez: Noi il cautam doar pe "n"
Pentru ca produsul n(n+1) sa fie divizibil cu 20, avem variantele:
[tex]\displaystyle \bf\\ Varianta~1:\\ n ~divizibil ~cu ~20~ si~ (n+1) ~indiferent \\ Rezulta~sirul~de~numre:~20;~40;~60;~.....;~2000 \\ Calculam~numarul~de~numere:\\\\ Nr.=\frac{2000-20}{20}+1=\frac{1980}{20}+1=99+1=\boxed{\bf 100~de~termeni}\\\\ Varianta~2:\\ (n+1)~divizibil~cu~20~si~n=cu~1~mai~mic\\ Rezulta~sirul~de~numere:~19;~39;~59;~.....;~1999\\ Calculam numarul de numere: \\\\ Nr. = \frac{1999-19}{20}+1=\frac{1980}{20}+1=99+1=\boxed{\bf 100~de~termeni}\\\\[/tex]
[tex]\displaystyle \bf\\ Varianta~3:\\ (n)~divizibil~cu~4~si~(n+1)~divizibil~cu~5\\ \text{\bf Rezulta~ca~ultima~cifra~a~lui~n~este~4.}\\ Rezulta~sirul~de~numere:~4;~24;~44;~.....;~2004\\ Calculam numarul de numere:\\\\ Nr. = \frac{2004-4}{20}+1=\frac{2000}{20}+1=100+1=\boxed{\bf 101~de~termeni} [/tex]
[tex]\displaystyle \bf\\ Varianta~4:\\ n~divizibil~cu~5~si~(n+1)~divizibil~cu~4\\ Rezulta~sirul~de~numere:~15;~35;~55;~...;~2015\\ Calculam~numarul~de~numere:\\\\ Nr. = \frac{2015-15}{20}+1=\frac{2000}{20}+1=100+1=\boxed{\bf 101~de~termeni}\\\\ \text{\bf Numarul total de termeni ai sirului }\\ \text{\bf care au ultima cifra zero sunt:}\\\\ N_{zero}=100+100+101+101=\boxed{\bf402~termeni}\\\\ \text{\bf Numarul de termeni x care au ultima cifra nenula sunt:}\\\\ x=2015-402=\boxed{\bf 1613~termeni} [/tex]
