Draguta problema :)
Ai desenul atasat...sper sa se inteleaga:
Am notat cu u=m(<AMN) pe care trebuie sa-l calculam.
Cum m(<MCB)=40 si m(<BCA)=180-m(<A)-m(<B)=180-10-100=70, rezulta ca
m(<MCA)=70-40=30 grade.
De asemenea, in triunghiul MCB,
m(<CMB)=180-m(<MBC)-m(<MCB)=180-100-40=40 grade, deci triunghiul MBC
este isoscel, cu MB congruent cu BC.
Cum m(<NBC)=75 si m(<ABC)=100 rezulta ca m(<NBA)=100-75=25 grade.
Am facut cateva constructii ajutatoare: luam D pe (AC) astfel incat m(<NBD)=25,
deci NB este bisectoarea unghiului ABD. Stim ca orice punct de pe bisectoarea
unui unghi este egal departat de laturile unghiului, deci, daca construim NN’
perpendicular pe BD si NM’ perpendicular pe AB, cu N’ pe BD si M’ pe
AB, atunci NN’=NM’.
Se observa usor, pe desen, urmatoarele relatii:
m(<MNM’)=90-u (din
triunghiul dreptunghic NMM’)
m(<DBC)=100-25-25=50 grade, deci BD este bisectoarea
unghiului ABC, cu m(<ABD)=m(<DBC)=50 grade
In triunghiul DBC: m(<BDC)=180-70-50=60 grade=m(<NDN’) (ca unghiuri opuse la varf)
Deci, in triunghiul dreptunghic NDN’, avem m(<DNN’)=90-60=30
grade
Notam cu Q intersectia dintre MC si BD.
Cum BQ este bisectoare in triunghiul isoscel MBC, inseamna
ca este si mediana si inaltime, deci si triunghiul MDC este isoscel, cu DM
congruent cu DC, deci DQ este si bisectoarea unghiului MDC, deci
m(<MDQ)=m(<QDC)=60 grade (am calculat mai sus <BDC). In triunghiul
dreptunghic MDQ: m(<DMQ)=90-60=30 grade.
Deci m(<NMD)=180-u-30-40=110-u.
De asemenea: m(<ADM)=180-60-60=60 grade.
Notam cu P intersectia dintre MC si NB.
In triunghiul PCB, avem: m(<BPC)=180-40-25-50=65
grade=m(<NPM) (ca unghiuri opuse la
varf).
Deci, in triunghiul NMP, avem m(<MNP)=180-65-30-(110-u)=u-25.
Construim NS perpendicular pe MD si notam cu T
intersectia dintre NB si MD.
In triunghiul dreptunghic NSD, avem m(<SND)=90-60=30
grade=m(<DNN’) (am calculat mai sus),
deci ND este bisectoarea unghiului <SNN’.
Observam ca triunghiul NDN’ congruent
cu triunghiul NDS (cazul I. U.) , deci NN’ congruent cu NS. Dar NN’ congruent
cu NM’ (am aratat mai sus), deci NM este bisectoarea unghiului <SNM’, deci m(<MNM’)=90-u=m(<MNS)=(u-25)+m(<TNS).
Calculam acum m(<TNS):
in triunghiul BNC, m(<BNC)=180-70-50-25=35
grade=m(<BNS)+m(<SNC)=m(<TNS)+30, deci
m(<TNS)=35-30=5 grade.
Asadar:
90-u=(u-25)+5
2u=110
u=55 grade=m(<AMN)
