a)
O sa pornim de la urmatoarea teorem:
- O dreapta care se intersecteaza cu doua drepte paralele determina de o parte si de alta a ei unghiuri congruente, care se numesc si unghiuri alterne interne.
Stim ca un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele (asta e definitia).
Fie paralelogramul ABCD, si AC ∩ BD = {O}, intersectia diagonalelor.
AB || CD, AC secanta ==>
∡BAC ≡ ∡DCA (1)
∡BCA ≡ ∡DAC (2)
AC - latura comuna in triunghiurile ΔADC si ΔABC (3)
(1), (2), (3) ==> (cazul ULU) ΔADC ≡ ΔABC ==> AB = CD si BC = AD
AC secanta la paralelele AB si CD ==> ∡CAB ≡ ∡ACD (1)
BD secanta la paralelele AB si CD ==> ∡ABD ≡ ∡BDC (2)
AB = CD (3)
(1), (2), (3) ==> (cazul ULU) ΔABO ≡ ΔCDO ==> AO = OC si BO = OD ==> Diagonalele se taie in segmente congruente
b)
Aici ne vom folosi de reciproca acelei teoreme: Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Fie patrulaterul ABCD, cu AB = CD si AB || CD
AB = CD (1)
BD - latura comuna pentru ΔABD si Δ BDC (2)
BD - secanta la paralelele AB si CD ==> ∡ABD ≡ ∡BDC (3)
(1), (2), (3) ==> (cazul LUL) ΔABD ≡ ΔBDC ==> ∡CBD ≡ ∡ADB ==> Unghiuri alterne interne fata de secanta BD ==> BC || AD
BC || AD si AB || CD ==> ABCD - paralelogram
