Daca n este numar natural atunci el poate fi de forma: [tex] M_{5} [/tex]+{0,1,2,3,4}.
Daca n=[tex] M_{5} +1[/tex] => 2n+1=2([tex] M_{5} +1[/tex])=[tex] M_{5} [/tex]+2 , care are ultima cifra 2 sau 7; deci nu e patrat perfect (in contradictie cu enuntul)
Daca n=[tex] M_{5} +2[/tex] => 3n+1=3([tex] M_{5}+2[/tex])+1=[tex] M_{5} +7= M_{5} +5+2= M_{5} +2[/tex], care nu poate fi patrat perfect (in contradictie cu enuntul)
Daca n=[tex] M_{5}+3[/tex] => 2n+1=2([tex]M_{5} +3[/tex])+1=[tex] M_{5} +7= M_{5} +2[/tex], care nu poate fi patrat perfect (in contradictie cu enuntul)
Daca n=[tex] M_{5}+4[/tex] => 3n+1=3([tex] M_{5}+4[/tex])+1=[tex] M_{5}+13= M_{5}+3[/tex], care nu poate fi patrat perfect (in contradictie cu enuntul) (ultima cifra:3 sau 8)
Daca n=[tex] M_{5} [/tex] => 2n+1=[tex] M_{5} [/tex]+1 si 3n+1=[tex] M_{5}+1[/tex], care pot fi simultan patrate perfecte.
Deci n este un multiplu de 5.
