AB este diametrul cercului deci
AB=2R=24
Masura unghiului facut de coarda BC este atunci BOC
Ne uitam la triunghiul BOC.
Avem 2 raze: OB si OC adica OB=OC=R deci triunghiul BOC este isoscel.
Mai stim ca unul dintre unghiuri este egal cu 60 grade
[tex]\angle{BOC}=60[/tex] Din aceste 2 conditii deducem ca triunghiul este echilateral de unde obtinem ca OB=OC=BC=R adica BC=12 si de asemenea toate unghiurile sunt congruente [tex]\angle{BOC}=\angle{CBO}=\angle{BCO}=60[/tex]
Ne uitam acum la triunghiul AOC. vedem ca OA=OC=R deci triunghiul AOC este isoscel. cu unghiurile congruente [tex]\angle{CAO}=\angle{OCA}[/tex]
Unghiul AOC este extern unghiului BOC din triunghiul BOC atunci valoarea lui este
[tex]\angle{AOC}=180-\angle{BOC}=180-60=120[/tex]
Ne uitam la triunghiul AOC si stim ca toate unghiurile adunate fac 180 de grade, atunci
[tex]\angle{AOC}+\angle{CAO}+\angle{OCA}=180\Rightarrow 120+2\angle{ACO}=180\Rightarrow \angle{ACO}=\frac{180-120}{2}=\frac{60}{2}=30[/tex]
Atunci unghiul ACB al triunghiului este
[tex]\angle{ACB}=\angle{ACO}+\angle{BCO}=30+60=90[/tex]
Deci triunghiul ACB este dreptunghic cu catele AC si BC si ipotenuza AB. Din teorema lui Pitagora putem afla lungimea lui AC
[tex]AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=24^{2}-12^{2}=12^{2}*4-12^{2}=3*12^{2}\Rightarrow AC=12\sqrt{3}[/tex]
Deci perimetrul triunghiului este
[tex]P_{ABC}=AB+AC+BC=24+12\sqrt{3}+12=12(3+\sqrt{3})[/tex]
