Salut,
După virgulă cifrele sunt așa: 10, apoi 100, apoi 1000, apoi 10 000, deci numărul de cifre de după virgulă este 2 pentru 10, apoi 3 pentru 100, apoi 4 pentru 1000 și așa mai departe.
Zecimala (cifra) de pe poziția 1000 poate fi 1, sau 0, nu ? Să vedem care dintre ele este.
Numărul de zecimale este 2 + 3 + 4+ .... Știm că suma acestor numere este 1000 (pentru că ni se cere a mia cifră după virgulă).
Știm că în general 1 + 2 + 3 + 4 + ,,, + n = n(n+1) / 2, formula lui Gauss.
De aici 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1)/2 -- 1 = 1000.
Dacă îl aflăm pe n, atunci aflăm al câtelea număr de forma 10ⁿ⁻¹ este acel număr de după virgulă, care număr conține cifra de pe poziția 1000 (după virgulă).
Cum am stabilit că este 10ⁿ⁻¹ ? Pentru n = 2, numărul este 10¹ = 10 (2 cifre), pentru n = 3, numărul este 10² = 100 (3 cifre) și așa mai departe.
(n² + n)/2 = 1001, sau n² + n = 2002, adică n² + n -- 2002 = 0.
Δ = 1² -- 4·1·(--2002) = 8009.
Radical din 8009 nu dă un număr natural, dar 89² < 8009 < 90².
Dacă considerăm pe 89², atunci √Δ = 89.
Așa că n₁ = (--1 + 89)/2 = 44.
A doua valoare a lui n nu convine, pentru că e negativă, nu o mai scriu.
Deci numărul 10⁴³ ne apropie de cifra de pe poziția 1000 după virgulă. Să vedem cât de aproape suntem de ea.
2 + 3 + 4 + ... + 44 = 44*45/2 -- 1 = 989.
Asta înseamnă că cifra de pe poziția 1000 după virgulă se află printre cifrele numărului 10⁴⁴.
Avem așa: cifra de pe poziția 989 este 0 (pentru că este ultima cifră a numărului 10⁴³), apoi cifra de poziția 990 este 1, pentru că este prima cifră a numărului 10⁴⁴.
Începând cu cifra de pe poziția 991, următoarele 44 de cifre, adică 991, 992, ... 1034 au toate valoarea 0, deci cifra de pe poziția 1000 este chiar 0.
Suma primelor 1000 de zecimale: te-ai descurca să o afli tu ? E chiar foarte ușor.
Green eyes.
