O sa iti rezolv aceasta problema prin doua metode: algebrica si geometrica.
1) Algebric. Presupunem ca exista vectorii u si v, s este suma lor vectoriala,iartoate aceste module sunt egale
[tex]|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{s}|=k[/tex] unde k este o constanta oarecare
Atunci hai sa ne uitam la relatia respectiva fara module
[tex]\vec{u}+\vec{v}=\vec{s}[/tex] ca sa treci de la vectori la module, cel mai simplu este sa ridici la patrat acel vector pentru ca stim ca in general produsul scalar a doi vectori u si v este
[tex]\vec{u}\vec{v}=|\vec{u}|*|\vec{v}|*\cos{(u,v)}[/tex] unde unghiul din cosinus este unghiul dintre cei 2 vectori
Atunci daca vectorul v este de fapt vectorul u avem
[tex]\vec{u}\vec{u}=|\vec{u}|*|\vec{u}|*\cos{(u,v)}=|\vec{u}|^{2}\cos{0}=|\vec{u}|^{2}[/tex] pentr ca unghiul dintre un vector si el insusi este 0.
Presupunand ca unghiul dintre u si v este alpha, trebuie sa gandesti ridicarea la patrat ca si cum ai avea (a+b)^2=s^2
[tex](\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{s}^{2}\Rightarrow \vec{u}^{2}+\vec{v}^{2}+2|\vec{u}\vec{v}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2|\vec{u}|*|\vec{v}|*\cos{\alpha}=k^{2}+k^{2}+2k*k*\cos{\alpha}=2k^{2}+2k^{2}\cos{\alpha}=\vec{s}^{2}=|\vec{s}|^{2}=k^{2}[/tex] presupunand ca acea constanta e diferita de 0 si atunci putem imparti toata relatia prin k
[tex]2+2\cos{\alpha}=1\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}=-\cos{60}[/tex] unde ne-am folosit de faptul ca 0.5 este cosinus de 60 de grade
Dar mai stim ca in general este adevarata relatia
[tex]\cos{180-x}=-\cos{x}[/tex] atunci putem inlocul mai sus
[tex]\cos{\alpha}=\cos{180-60}=\cos{120}\Rightarrow \alpha=120[/tex]
2) Metoda geometrica.
Daca cei 2 vectori ar fi coliniari, adica ar fi pe aceeasi dreapta, ei fiind de modul egal sunt 2 cazuri posibile
I) Ambii sunt in aceeasi directie. In acest caz, suma celor 2 vectori va fi un vector de 2 ori mai mare, adica un segment de doua ori mai mare, in nici un caz egal cu unul din cei 2 vectori
II) Cei 2 vectori sunt in sensuri opuse. Daca sunt in sensuri opuse, atunci o sa se anuleze unul pe altul, si vectorul rezultant va fi 0. Deci nu are cum sa fie egal cu fiecare vector in parte
Deci cei 2 vectori nu sunt coliniari. Asta inseamna ca vectorul rezultant va avea un anumit unghi fata de ambii vectori diferit de nul. Atunci putem reprezenta cei 3 vectori(cei 2 vectori si suma lor) prin intermediul celor 3 varfuri ale unui triunghi cum este in triunghiul de mai jos
Facand urmataorele relatii [tex]\vec{u}=\vec{BA}[/tex] [tex]\vec{v}=\vec{AC}[/tex] [tex]\vec{s}=\vec{BC}[/tex] atunci se observa relatia adevarata
[tex]\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}[/tex] si conditia este:
[tex]|\vec{BA}|=|\vec{AC}|=|\vec{BC}|=l[/tex] adica respectivul triunghi este echilateral
Unghiul dintre vectorii BA si AC si poate obtine translatand vectorul BA in mod simetric fata de A si notam capatul vectorului cu D. Atunci avem vectorul
[tex]\vec{BA}=\vec{AD}[/tex] Si atunci unghiul dintre BA si AC este unghiul DAC care este unghiul suplementar unghiului A din trunghi
[tex]\alpha=\angle{BAD}=180-\angle{BAC}=180-60=120[/tex] unde am folosit faptul ca toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale cu 60.
