Ai rezolvat bine până acolo, dar de dragul exercițiului, voi lua de la capăt!
Ni se cere aria triunghiului dreptunghic cu catetele b și c.
Formula este dată de:
[tex]A= \dfrac{b \cdot c}{2} [/tex]
În concluzie avem nevoie de b și c, pe care le deducem din inegalitatea dată:
[tex] \sqrt{b^2-4 \sqrt{3}b+13 }+ \sqrt{c^2-6 \sqrt{2}c+22} \leq 3[/tex]
Formăm pătrate perfecte sub fiecare radical, folosindu-ne de formula:
[tex]x^2-2xy+y^2=(x-y)^2[/tex]
De unde rezultă:
[tex]\sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1 }+ \sqrt{(c-3 \sqrt{2} )^2+4} \leq 3[/tex]
Observăm că sub fiecare radical se află un pătrat perfect, despre care știm că este mai mare sau egal cu 0 (e important acest aspect), plus un număr.
De aici avem două cazuri:
1. Dacă pătratele perfecte sunt egale cu 0, rezultă că:
[tex](b-2 \sqrt{3})^2 = 0 \Rightarrow \sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1} = 1 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow\\ (c-3 \sqrt{2} )^2 = 0 \Rightarrow \sqrt{(c-3 \sqrt{2})^2+4}=2 [/tex]
[tex] \sqrt{0+1} + \sqrt{0+4} = 3 \Leftrightarrow 1+2=3 \leq 3[/tex], care verifică inegalitatea.
2. Iar în al doilea caz, dacă pătratele perfecte sunt mai mari decât 0:
[tex](b-2 \sqrt{3})^2 \ \textgreater \ 0 \Rightarrow \sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1}\ \textgreater \ 1
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow\\ (c-3 \sqrt{2} )^2 \ \textgreater \ 0 \Rightarrow \sqrt{(c-3 \sqrt{2})^2+4}\ \textgreater \ 2
[/tex]
[tex]\sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1 }+ \sqrt{(c-3 \sqrt{2} )^2+4} \ \textgreater \ 3[/tex], care nu verifică inegalitatea.
Din (1) și (2) rezultă că singura soluție corectă este când pătratele perfecte sunt egale cu 0, când se respectă inecuația.
Deci:
[tex](b-2 \sqrt{3})^2 =0 \Rightarrow b=2 \sqrt{3} [/tex]
și
[tex](c-3 \sqrt{2} )^2=0 \Rightarrow c=3 \sqrt{2}[/tex]
Acum, ca să aflăm aria, aplicăm formula și rezultă că:
[tex]A= \dfrac{2 \sqrt{3}~ \cdot 3 \sqrt{2} }{2} =3 \sqrt{6} [/tex]
