Răspuns:
[tex]a_3=10[/tex]
Explicație pas cu pas:
Întrebare: Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice [tex](a_n),\forall n\geq 1[/tex], știind că [tex]a_1=4[/tex] ș i[tex]a_2=7[/tex].
Rezolvare:
[tex]a_3=a_2+r[/tex]
[tex]a_2=a_1+r\\ 7=4+r\\ r=3[/tex]
[tex]a_3=a_2+r\\ a_3=7+3\\ a_3=10[/tex]
Pentru a putea calcula al treilea termen avem nevoie de rație. Rația am aflat-o conform proprietății (1), deși se poate și astfel: [tex]a2-a1=r[/tex] căci știm ca rația este diferența dintre doi termeni.
(A) Teorie:
Definiție: Un șir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obține din termenul precedent adunat cu același număr se numește progresie aritmetică, adică: [tex]\boxed{a_{n+1}=a_n+r}, \forall n\geq 1[/tex] unde [tex]r \in\mathbb{R}[/tex] este numit rație.
(B) Proprietăți:
(1) [tex]\boxed{a_n=a_1+(n-1)r}[/tex] pentru orice n≥1
(2) [tex]\displaystyle\boxed{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}[/tex] pentru orice n≥2
(3) [tex]\displaystyle \boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n }[/tex] pentru orice n≥1, Sn fiind suma primilor n termeni ai progresiei noastre.
(4) [tex]\boxed{a_1+a_n=a_k+a_{n-k+1}}[/tex] pentru orice k≥1, adică suma termenilor extremi e egală cu suma termenilor egal depărtați de cei extremi.