Salut,
Numitorul fracției este 3x² -- 5x + 2.
Observăm că x = 1 este soluție a ecuației 3x² --
5x + 2 = 0 (1)
Produsul rădăcinilor este 2/3, iar una dintre
soluții este 1, deci a doua soluție este 2/3. Am ales o soluționare rapidă a
ecuației (1) pentru că la examen nu vei avea timp de Delta, fiecare minut
contează.
Dacă soluțiile sunt 2/3 și 1, atunci numitoru
poate fi scris așa:
3x² -- 5x + 2 = 3(x -- 2/3)(x -- 1) = (3x --
2)(x -- 1)
După cum arată soluțiile, fracția de sub
integrală se scrie ca o sumă de 2 fracții. Asta înseamnă că ne vom folosi de
metoda coeficienților nedeterminați, pentru a "sparge" fracția din
enunț în sumă de 2 fracții.
Avem de aflat pe A și pe B din relația de mai jos:
[tex]\dfrac{x+5}{3x^2-5x+2}=\dfrac{A}{3x-2}+\dfrac{B}{x-1}=\dfrac{Ax-A+3Bx-2B}{(3x-2)(x-1)}=\dfrac{(A+3B)x-A-2B}{(3x-2)(x-1)},\ de\ aici:\\\\\left\{\begin{array}{c}A+3B=1\\-A-2B=5\end{array}\right.\\\\Ob\c{t}inem\ c\breve{a}:\ A=-17,\ B=6.\ Avem\ deci:\\\\\dfrac{x+5}{3x^2-5x+2}=\dfrac{-17}{3x-2}+\dfrac{6}{x-1}=-\dfrac{17}3\cdot\dfrac{3}{3x-2}+6\cdot\dfrac{1}{x-1}=\\\\=-\dfrac{17}3\cdot(ln|3x-2|)'+6\cdot(ln|x-1|)'.[/tex]
[tex]Deci\ \int\dfrac{x+5}{3x^2-5x+2}dx=\int\left[-\dfrac{17}3\cdot(ln|3x-2|)'+6\cdot(ln|x-1|)'\right]dx=\\\\=-\dfrac{17}3\cdot ln|3x-2|+6\cdot ln|x-1|+C,\ unde\ C=constant\breve{a}\in\mathbb{R}[/tex]
Soluția este corectă, dacă ținem
cont de faptul că la ambii logaritmi expresia de sub logaritm trebuie să fie
mai mare strict decât zero.
Dacă analizăm semnele funcțiilor
g(x) = 3x – 2 și h(x) = x – 1, observăm că ambele au simultan semn pozitiv
pentru x > 1, deci soluția corectă nu poate fi decât c).
Green eyes.
