Salut,
Gradul polinomului g este 2, deci restul împărțirii lui f la g este un polinom de gradul 2 -- 1 = 1, adică restul are forma aX+b.
Trebuie deci să îi aflăm pe a și pe b.
f(x) = Q(X)g(X) + R(X), unde Q(X) este câtul împărțirii lui f la g. Avem așa:
(X -- 1)ⁿ -- Xⁿ + 1 = Q(X)(X² -- 3X + 2) + aX + b (1).
Ideea este să "scăpăm" de Q(X), adică să-l înmulțim cumva cu 0.
X² -- 3X + 2 = (X -- 1)(X + 2), te las pe tine să descoperi cum se obține asta.
Deci X² -- 3X + 2 se anulează pentru X = 1 și X = --2 (foarte important !).
Relația (1) devine:
(X -- 1)ⁿ -- Xⁿ + 1 = Q(X)(X -- 1)(X + 2) + aX + b (2).
Relația (2) este valabilă pentru orice X real, deci este valabilă pentru X = 1 și separat pentru X = --2 (ai înțeles de ce le-am ales tocmai așa ?)
X = 1, deci (1 --1)ⁿ -- 1ⁿ + 1 = Q(1)(1 -- 1)(1 + 2) + a + b, sau a + b = 0 (3).
X = --2, deci (--2 --1)ⁿ -- (--2)ⁿ + 1 = Q(--2)(--2 -- 1)(--2 + 2) -- 2a + b, sau
b -- 2a = (--3)ⁿ -- (--2)ⁿ + 1 (4).
Te last pe tine să îi afli pe a și pe b, din relațiile (3) și (4). În relația (4) ții cont că a = -- b (din relația (3)), câteva calcule și gata.
Dacă îi știi pe a și pe b, poți deci afla pe aX + b.
A doua cerință:
(X -- 1)ⁿ -- Xⁿ + 1 = P(X)(X² -- X) + cX + d (5), unde P(X) este restul împărțirii polinomului f(X) la h(X).
Relația (5) se mai poate scrie:
(X -- 1)ⁿ -- Xⁿ + 1 = P(X)(X -- 1)X + cX + d
Pentru X = 0, avem (--1)ⁿ + 1 = d. Cum n este impar, avem că d = 0.
Pentru X = 1, avem (1 -- 1)ⁿ -- 1ⁿ + 1 = c + d, deci c + d = 0, dar d = 0, deci c = 0, asta înseamnă că cX + d este polinomul identic nul, adică f este divizibil cu h, ceea ce trebuia demonstrat.
Sper că ai observat că peste tot am scris X, cu literă mare, așa se scrie la polinoame, nu uita asta.
Ce bine ar fi dacă am ști teoria la matematică, mai ales tu ! :-D.
Green eyes.
