se poate arata relativ "usor" ca √5 si √7 fiecare separat sunt irationale
de exemplu , presupunem prin absurd ca √5 este rational
atunci exista p, q∈N, prime intre ele, asa fel incat
√5=p/q
5=p²/q²
5q²=p²
cum p si q sunt prime intre ele⇒5|p
deci p=5r
atunci p²=25r²
5q²=25r²
q²=5r²
cum psi q sunt prime intre ele si r este divizor al lui q, inseamna ca si q si r sunt prime intre ele
asadar 5|q
cum 5|p , inseamna ca p si q nu sunt prime intre ele
contradictie cu ipoteza
deci presupunerea noastra ca exista p si q este gresita, deci√5 nu este rational, ci irational.
analog si cu √7
Acum , probleam data
presupunem ca √7 +√5 este rational
cum √5 este irational, atunci -2√5 este tot irational, ca produs intre un numar rational (-2)si unul irational, √7
atunci si
si (√7+√5)-2√5, ca suma algebrica intre un numa rational si unul irational , va fi irational
deci √7-√5 este irational
inmultnd numarul presupus rational √7+√5 cu numarul irational √7-√5 vom obtine numarul rational 2
dar inmultind un numar rational cu un numar irational , ar fi trebuit sa obtinem un numar itrational
deci contradictie
deci presupunerea noastra ca √7+√5 ar fi rational este gresita
Deci √7+√5 este iratiional
