Din relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 3 de forma [tex]f=ax^3+bx^2+cx+d[/tex], știm că produsul rădăcinilor, adică [tex]x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \dfrac{d}{a} [/tex].
În cazul nostru:
[tex]x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \dfrac{-4}{1}=4[/tex]
Deci, dacă există o rădăcină rațională (chiar întreagă, deoarece a=1, iar coeficienții polinomului [tex]\in \mathbb{Z}[/tex]), va fi un divizor al lui 4.
Divizorii pozitivi ai lui 4 sunt [tex]D_{4^+}=\{1,2,4\}[/tex], așa că rădăcinile pozitive posibile vor face parte din această mulțime. Le luăm pe fiecare pe rând, le înlocuim în polinom și egalăm cu 0, de unde scoatem valoarea lui [tex]a[/tex] pentru fiecare rădăcină.
[tex]f(1)=0 \Leftrightarrow 1^3+a \cdot 1^2-a \cdot 1-4=0 \Rightarrow a-a=3 \Leftrightarrow 0=3[/tex]
Ne dă o contradicție, de unde deducem că nu există [tex]a[/tex] pentru care polinomul ia valoarea 1.
Repetăm procesul pentru cele două rădăcini posibile rămase.
[tex]f(2)=0 \Leftrightarrow 2^3+a \cdot 2^2-a\cdot 2-4=0 \Leftrightarrow a=-2 \in \mathbb{Z}\\\\
f(4)=0 \Leftrightarrow 4^3+a \cdot 4^2-a\cdot 4-4=0 \Leftrightarrow a=-5 \in \mathbb{Z}[/tex]
Deci, singurele valori posibile pentru [tex]a[/tex] vor fi -5 și -2.
[tex]a\in \{-5;-2\}[/tex]
