Ma chinui de o saptamana la problema asta...idei?

AB, BC, AC sunt în progresie aritmetică, deci latura cea mai mare (ipotenuza) este AC.

Desenăm trriunghiul ABC, dreptunghic în B.

Lungimile laturilor fiind în progresie aritmetică, se poate scrie:

BC = x, AB = x-r, AC = x+r, unde r este rația.

Deoarece perimetrul este 18, vom avea:

x-r + x + x+r = 18 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6

Acum se poate scrie AB = 6 - r, BC = 6, AC = 6+r

Triunghiul fiind dreptunghic, se poate aplica teorema lui Pitagora:

(6 +r)² - (6-r)² = 6² ⇒(6+r-6+r)(6+r+6-r) = 36 ⇒ 2r·12 =36 ⇒ r = 3/2

Prin urmare, AB = (9/2), BC = 6, AC = (15/2)

Aria(BAC) =(1/2) ·(BA · BC)= (1/2) (9/2)·6 = 27/2

Ducem mediana AM, cu M pe BC.

Aria(BAM) = (1/2)·Aria(BAC) =(1/2)·(27/2) = 27/4

Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci G∈ AM și

GM = (1/3)AM ⇒ Aria(BGM) =(1/3)· Aria(BAM) = (1/3)·(27/4) = 9/4

Albatran Albatran · Answer 2 · 2017-06-01T18:21:55+03:00

dac laturiler sunt in progresie aritmetica in aceasta ordine;
cateta mica=AB=x
cateta mare=BC=x+a
ipotenuza =CA=x+2a
atunci avem relatilile
x=x+a+x+2a=3x+3a=18
si
x²+ (x+a)²=(x+2a)²

adica x+a=6
x²+x²+2ax+a²=x²+4ax+4a²

x+a=6
x²-2ax-3a²=0

cu substitutia x=6-a,ecuatia a doua devine
a²-12a+36-2a(6-a)-3a²=0

a²-12a+36-12a+2a²-3a²=0
36-24a=0
3-2a=0
a=3/2
⇒x=6-3/2=9/2
x+a=6=12/2
x+2a=6+3/2=15/2
intr-adevar , numere pitagorice, ptca (9/2)²+(12/2)²=(15/2)²
sunt 3,4, 5 amplificate cu k=3/2
verificare si pt perimetru
9/2+12/2+15/2=36/2=18
ambele sunt adevarat,deci triunghiul initial este binerezolvat

asadar Arioa triunghiului ABC= (cateta 1* cateta 2)2=(9/2) *6/2=27/2

acum Arie triunghiul;ABM = 1/2 * arie tr ABC (ptca mediana imparte un tr in 2 tr.de ariiegale) = (1/2) *27/2=27/4

iar aria BGM = (1/3) *Arie ABM, ptca baza GM este 1/3 di baza AM, fata de inaltimea comuna din B
deci Arie BGN= (1/3) *27/4= 9/4 unitatide arie
raspuns corect a)