Dacă avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci
termenul din mijloc este egal cu media aritmetică a termenilor vecini.
În cazul nostru, avem:
[tex]\ir \dfrac{1}{2b} = \dfrac{\dfrac{1}{b-a}+\dfrac{1}{b-c}}{2}|_{\cdot2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{b} =\dfrac{1}{b-a}+\dfrac{1}{b-c} [/tex]
Amplificăm prima fracție cu (b-a)(b-c), a doua cu b(b-c),
iar a treia cu b(b-a) și, eliminând numitorii, avem:
(b-a)(b-c) = b(b-c) +b(b-a) ⇔ b²- bc- ab+ac = b²- bc+b²- ab
Reducem termenii asemenea și rezultă:
ac = b² ⇒ b² = ac ⇒ b = √ (ab) ⇒ b este medie geometrică
a numerelor a și c ⇒ a, b, c sunt în progresie geometrică.
