sa zicem ca segmentul care uneste mijloacele laturilor AB si AC este MN.
in acest caz, MN este linie mijlocie a triunghiului ABC, atunci MN este paralela cu BC.
Rezulta ca BE este o secanta care uneste cele doua drepte paralele. DIn regula de egalitate a unghiurilor alterne interne rezulta ca:
[tex]\angle{MEB}=\angle{BEC}[/tex]
Dar stim ca BE este bisectoarea unghiului ABC. Atunci
[tex]\angle{ABE}=\angle{BEC}=\frac{\angle{ABC}}{2}[/tex]
Din cele 2 relatii rezulta ca
[tex]\angle{MEB}=\angle{ABE}=\angle{MBE}[/tex]
Daca ne uitam in triunghiul MBE vedem ca are 2 unghiuri congruente, deci este isoscel. Fiind isoscel, rezulta ca si cele 2 laturi sunt congruente: ME=BM
M este mijlocul lui AB, atunci [tex]BM=AM=\frac{AB}{2}[/tex] adica rezulta si ca ME=AM, de unde rezulta ca AME este triunghi isoscel cu unghiurile congruente:
[tex]\angle{MAE}=\angle{MEA}[/tex]
unghiul AME este exterior triunghiului BME, atunci putem scrie
[tex]\angle{AME}=\angle{MBE}+\angle{MEB}=2\angle{MBE}=\angle{ABC}[/tex]
Atunci putem calcula si unghiul MEA
[tex]\angle{AME}+2\angle{MEA}=180\Rightarrow \angle{ABC}+2\angle{MEA}=180\Rightarrow \angle{MEA}=\frac{180-\angle{ABC}}{2}=90-\frac{\angle{ABC}}{2}[/tex]
Atunci putem calcula unghiul dintre ele
[tex]\angle{BEA}=\angle{MEB}+\angle{MEA}=\frac{\angle{ABC}}{2}+90-\frac{\angle{ABC}}{2}=90[/tex] deci AE si BE sunt perpendiculare
