De exemplu, avem urmatoarea inecuatie:
[tex]\frac{|x+2|}{x-1}\ \textgreater \ 4[/tex]
Punem o conditie de existenta la numitor:
x-1 diferit de 0 => x diferit de 1.
Treci in partea cealalta pe 4(cu semn schimbat):
[tex]\frac{|x+2|}{x-1}-4\ \textgreater \ 0[/tex]
Aduci la acelasi numitor - (x-1):
[tex]\frac{|x+2|-4(x-1)}{x-1}\ \textgreater \ 0\ \textless \ =\ \textgreater \ \frac{|x+2|-4x+4}{x-1}\ \textgreater \ 0[/tex]
Acum, noi avem la numarator si la numitor doua expresii.
Noi stim ca o fractie este mai mare decat 0 daca:
I) numaratorul si numitorul sunt pozitive
II) numaratorul si numitorul sunt negative
Conform regulii - cu - fac +
Atunci o sa avem doua sisteme de inecuatii:
[tex] \left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right. si \left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textless \ 0} \atop {x-1\ \textless \ 0}} \right. [/tex]
Luam primul sistem:
[tex] \left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right.[/tex]
Prima inecuatie este aceasta:
|x+2|-4x+4>0
Folosim proprietatile modulului:
|x+2|=
1) x+2, daca x+2>=0, x>= -2
2) -x-2, daca x+2<0, x<-2
Atunci avem doua cazuri:
Pentru x<-2=>(-x-2)-4x+4>0=>-x-2-4x+4>0=>-5x+2>0=>-5x>-2|*(-1)
=>5x<2=>x<2/5=>x∈(-∞,2/5)∩(-∞,-2)=>x∈(-∞,-2)
Pentru x>= -2 => x+2-4x+4>0=>-3x+6>0=>-3x>-6|*(-1) =>3x<6|:3=>x<2
=>x∈[-2,2)
Aici am luat conditiile pentru modul si le-am intersectat cu ce mi-a dat in inecuatie.
=> x∈(-∞,-2)∪[-2,2)
Acum pentru a doua inecuatie:
x-1>0=>x>1=>x∈(1,∞)
Se intersecteaza cele doua solutii:
=>x∈(1,2)
Al doilea sistem de inecuatii:
[tex]\left \{ {{|x+2|-4x+4\ \textless \ 0} \atop {x-1\ \textless \ 0}} \right.[/tex]
Prima inecuatie:
|x+2|-4x+4<0
Avem aceleasi cazuri pentru |x+2|:
I)x+2, daca x>=-2
II)-x-2, daca x< -2
Pentru I) => x+2-4x+4<0 => -3x+6<0 => -3x<-6|*(-1) => 3x>6|:3 => x>2
x∈(2,∞)
Pentru II) => -x-2-4x+4<0 => -5x+2<0=>-5x<-2|*(-1) => 5x>2=>x>2/5
Dar x<-2 atunci x nu are solutie aici.
=> x∈(2,∞)
A doua inecuatie:
x-1<0=>x<1 => x∈(-∞,1)
Cu prima solutie nu se intersecteaza, deci aici x∈Ф
Atunci avem doar o solutie:
S=(1,2)
Succes la mate.
Sper ca te-am ajutat
