trebuie ca f aplicat de 2018 ori lui x sa ne rezulte x^5
banuim ca f(x) trebuie sa fie tot de forma unei puteri ale lui x
ne amintim diverse formule de la calculul cu puteri ale aceleiasi baze
printre care (x^a)^b= x^ (a*b)
de unde rezulta ((x^a)^ b)^c= x^ (a*b*c)
far demonstratie prin inductie, admitem ca
(( x^a)^b....)^d=x^ (a*b*...*d)
in cazul nostru daca alegem f(x)ca o putere a lui x, de exemplu
f(x) =x^p
atunci f°f(x) = (x^p)^p=x^p²
iar f°f°f(x)=f(x^p²)= (x^p²)^p=x^p³
presupunem ca ,
ca f°f°...°f (x) de n ori f=x^(p^n)
atunci
f°f°...°f (x) de n+1 ori f= f°(f°f°...°f (x) (de n ori f)= f( x^(p^n))= (x^(p^n))^p=
x^ (p^n * p)=x^(p^(n+1))
Pn⇒Pn+1,, formula e demonstrata prin inductie matematica
atrunci, pt n=2018
t f°f°...°f(x) de 2018 ori f= x^(p^2018)
deci x^ (p^2018)=x^5
egalam exponentii
p^2018=5
ecuatiede gradul 2018
care are 2 si numai 2 solutii reale (si2016 complexe)
p1 =radical ordinul 2018 din 5
sau p2= -radicalordinul 2018 din 5,
deci vom avea si 2 functii caere vor verifica relatia data
f(x) =x^p
f1(x)=x^p1=x^ (radical ordinul 2018 din 5)
crescatoare , pt ca radical ordinul 2018 din 5 este>1
si
f2(x) =x^ p2= x^(-radical ordinul 2018 din 5)=1/(x^(radical ordinul 2018 din 5))
descrescatoare, ptca f1(x) este crescatoare si f2(x) =1/f(x)
vezi in atasament expresia grafica matematica si o verificare (fara inductie matematica, pt cazul p=2018 si f1(x)
in atas 2 expresia matematica a lui f2(x)
pt f2(x)
avand 2018 un numar par de compuneri minusul de la exponent dispare la a 2018- acompunere , sau , altfel spus, daca o exprimam ca fractiem, f2(x) fiind 1/f1(x) la un numar parde compuneri este identica cu compunerea de acelasi numar de ori a lui f1(x)
vezi cazul mai simplu al compunerii g°g , unde g(x) =1/x, pt un numar par si imparde compuneri
