Răspuns :
f:N→N astfel incat f(o)=1
Daca n≥1 atunci f)n)=u.c(7ⁿ).
a. f(1)=u.c(7¹)=7
f(2)=u.c(7²)=9
f(3)=u.c(7³)=3
f(4)=u.c(7⁴)=1
f(5)=u.c(7⁵)=7
f(6)=u.c(7⁶)=9
f(7)=u.c(7⁷)=3
Observatie:
7¹=7
7²=49
7³=343
7⁴=2401
7⁵=16807
Pentru orice numar de forma 7ⁿ unde n≥1 ultima cifra se va repeta din 4 in 4 ori.
b. f(n+4)=u.c(7ⁿ⁺⁴)
f(n)=u.c(7ⁿ)
Daca f(n+4)=f(n) evident ca u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7ⁿ).
Analog ,daca ultima cifra a lui 7ⁿ se va repeta din 4 in 4 ori pentru n≥1 atunci si ultima cifra a lui 7ⁿ⁺⁴ se va repeta din 4 in 4 ori.
Avem urmatoarele variante
n=4a⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ)=1
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁴)=1
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=1 pentru n=4a
n=4a+1⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ⁺¹)=7
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁵)=7
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=7 pentru n=4a+1
n=4a+2⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ⁺²)=9
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁶)=9
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=9 pentru n=4a+2
n=4a+3⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ⁺³)=3
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁷)=3
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=3 pentru n=4a+3
In concluzie f(n+4)=f(n) pentru orice numar n≥1.
c. Indicatie:pentru trasarea graficului functiei f trebuie obligatoriu desenat sistemul de axe ortogonale xOy iar apoi sa calculezi de exemplu
f(0)=1 si f(1)=7 ⇒pentru a determina punctele A(0;1) SI B(1;7) ambele apartinand graficul functiei f.
Graficul functiei f este o dreapta.
Daca n≥1 atunci f)n)=u.c(7ⁿ).
a. f(1)=u.c(7¹)=7
f(2)=u.c(7²)=9
f(3)=u.c(7³)=3
f(4)=u.c(7⁴)=1
f(5)=u.c(7⁵)=7
f(6)=u.c(7⁶)=9
f(7)=u.c(7⁷)=3
Observatie:
7¹=7
7²=49
7³=343
7⁴=2401
7⁵=16807
Pentru orice numar de forma 7ⁿ unde n≥1 ultima cifra se va repeta din 4 in 4 ori.
b. f(n+4)=u.c(7ⁿ⁺⁴)
f(n)=u.c(7ⁿ)
Daca f(n+4)=f(n) evident ca u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7ⁿ).
Analog ,daca ultima cifra a lui 7ⁿ se va repeta din 4 in 4 ori pentru n≥1 atunci si ultima cifra a lui 7ⁿ⁺⁴ se va repeta din 4 in 4 ori.
Avem urmatoarele variante
n=4a⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ)=1
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁴)=1
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=1 pentru n=4a
n=4a+1⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ⁺¹)=7
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁵)=7
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=7 pentru n=4a+1
n=4a+2⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ⁺²)=9
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁶)=9
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=9 pentru n=4a+2
n=4a+3⇒u.c(7ⁿ)=u.c(7⁴ᵃ⁺³)=3
u.c(7ⁿ⁺⁴)=u.c(7⁴ᵃ⁺⁷)=3
Deci u.c(7ⁿ)=u.c(7ⁿ⁺⁴)=3 pentru n=4a+3
In concluzie f(n+4)=f(n) pentru orice numar n≥1.
c. Indicatie:pentru trasarea graficului functiei f trebuie obligatoriu desenat sistemul de axe ortogonale xOy iar apoi sa calculezi de exemplu
f(0)=1 si f(1)=7 ⇒pentru a determina punctele A(0;1) SI B(1;7) ambele apartinand graficul functiei f.
Graficul functiei f este o dreapta.
Enunțul este deficitar.
Ar fi suficient să definim funcția astfel:
[tex]\it f: \mathbb{N}^* \longrightarrow \mathbb{N}, \ \ f(x) = u(7^n)[/tex]
E de clasa a 5 - a abilitatea de a observa că avem ciclicitatea (1, 7, 9, 3).
Evident că avem periodizarea f(n) = f(n +4), care se poate proba pentru câteva valori ale lui n.
Gf nu este o dreaptă, deoarece funcția nu este liniară pe ℝ.
Avem un grafic format din puncte ...
