Stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi doar 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Deci daca un nr are ultima cifra 2, 3, 7 sau 8 inseamna ca nu este patrat perfect.
Mai stim ca ultima cifra a puterilor lui 2 si 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
U([tex] 2^{4n+1} [/tex])=2
U([tex] 2^{4n+2} [/tex])=4
U([tex] 2^{4n+3} [/tex])=8
U([tex] 2^{4n} [/tex])=6
U([tex] 3^{4n+1} [/tex])=3
U([tex] 3^{4n+2} [/tex])=9
U([tex] 3^{4n+3} [/tex])=7
U([tex] 3^{4n} [/tex])=1
si cum 42=4*10+2 este de forma 4n+2, iar 61=4*15+1 este de forma 4n+1, obtinem ca ultima cifra a numarului cautat:
U([tex] 2^{42}+3^{61} [/tex])=U([tex] 2^{42} [/tex])+U([tex] 3^{61} [/tex])=4+3=7
Dar cum un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 7 inseamna ca numarul dat nu este patrat perfect.
(q.e.d.)
