[tex]A=7+97+997+_{\dots}+\underbrace{99_{\dots}9}}7\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~de\ 2012\ ori\\
Descompunem\ fiecare\ numar\ in\ parte:\\
A=7+90+7+990+7+_{\dots}+\underbrace{99_{\dots} 9}0+7\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ de\ 2012\ ori\\
Mi\ se\ pare\ evident\ ca\ 7\ apare\ de\ 2013\ ori\ deci\ vom\ avea:\\
A=7\cdot 2013+(90+990+_{\dots}+99_{\dots}90)\\
A=7\cdot 2013+10(9+99+999+_{\dots}+99_{\dots}9)\\
Facem\ un\ artificiu\ de\ calcul:\\
A=14091+10(10-1+10^2-1+10^3-1+_{\dots}+10^{2013}-1})\\
[/tex]
[tex]"-1"\ apare\ de\ 2013\ ori:\\
A=14091+10(10+10^2+10^3+_{\dots}+10^{2013}-2013})\\
Rezolv\breve{a}m\ suma\ cu\ puterile\ lui\ 10\ separat:\\
S=10+10^2+10^3+_{\dots}+10^{2013}|\cdot10\\
10S=10^2+10^3+_{\dots}+10^{2014}\\
------------\\
10S-S=10^{2014}-10\\
9S=10^{2014}-10\Rightarrow S=\frac{10^{2014}-10}{9}\\
Revenind:
A=14091-20130+10\cdot \frac{10^{2014}-10}{9}\\
De\ aici\ sunt\ numai\ calcule\ simple:\\
A=\frac{10^{2015}-100}{9}-6039\\
A=\frac{10^{2015}-100-54351}{9}\\
A=\frac{10^{2015}-54451}{9}\\
[/tex]
