Pentrru usurinta calcyulelor, vom nota VA=AB=a
a) in piramida patrulatera cu toate muchiile egale, 2 muchii laterale opuse sunt perpendiculare (rec Teo Pitagora intr-un tr cu lat a, a, a√2)
deci VO, inaltime, mediana coresp ipotenuzei= a√2/2=4√2*√2/2=4
b) MP l.m in ΔVAD, MP|| AV, AV||MP⊂(MNP), AV||(MNP)
c)In triunghiul NOP, NQ=QP, deci OQ e mediana
ΔVOD, dreptunghic in O,deci OP, mediana coresp ipotenuzei VD;
OP=VD/2=a/2
ON=apotema bazei=a/2. deci PON tr isoscel de baza PN, mediana coresp bazei e si inaltime, deci OQ⊥PN (1)
m∡(MP, MN)=m∡(AV, BD)
cum BD⊥(VAC)*⇒m∡(AV, BD)=90°=m∡(MP, MN)⇔MP⊥ MN⇔PMN dreptunghic inM⇒(pitagora) PN=√((a/2)²+(a√2/2)²)=a√3/2
Q mijloc PN⇒MP mediana coresp ipotenuzei, MQ=a√3/4+QN
OQ= (pitagora in tr OQN)= √(a/2)²-(a√3/4)²=a/4
verificam dac MQP este cumva dreptunghic in Q
MQ=a√3/4
OQ=a/4
OM=a/2
esteeee
3a²/16+ a²/16=4a²/16=a²/4 adevarat deciREc Teo Pitagora OQ⊥MQ (2)
din (1) si (2)⇒OQ ⊥2 drepte concurente din (MPN) ⇔OQ⊥(MPN)
* BD⊥AC diag patrat
BD⊥VO, pt ca VO⊥BD, deci BD ⊥2 drepte concurente din (VAC), BD⊥(VAC)
