(....(((2+2)·2+2³)·2+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....(((2²·2+2³)·2+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....(((2³+2³)·2+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....((2³(2⁰+2⁰)·2+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....((2³(1+1)·2+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....((2³·2·2+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....((2⁵+2⁵)·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....((2⁶·2+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =(....((2⁷+...+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= observam ca de fiecare data obtinem in paranteza centrala 2 la puterea n+1 deci calculand in continuare vom obtine =(2²⁰⁰¹+2²⁰⁰¹)·2+2²⁰⁰³= =2²⁰⁰²·2+2²⁰⁰³= =2²⁰⁰³+2²⁰⁰³= =2²⁰⁰⁴
S=1+2+2²+2³+....+2²⁰¹¹ inmultim cu 2 2S=2+2²+2³+2⁴....+2²⁰¹² scadem S 2S-S=2+2²+2³+2⁴....+2²⁰¹²-(1+2+2²+2³+....+2²⁰¹¹) S=2+2²+2³+2⁴....+2²⁰¹²-1-2-2²-2³-....-2²⁰¹¹ S=2²⁰¹²-1
S=1+3+3²+3³+....+3²⁰⁰³ inmultim cu 3 3S=3+3²+3³+3⁴....+3²⁰⁰⁴ scadem S 3S-S=3+3²+3³+3⁴....+3²⁰⁰⁴-(1+3+3²+3³+....+3²⁰⁰³) 2S=3+3²+3³+3⁴....+3²⁰⁰⁴-1-3-3²-3³-....-3²⁰⁰³ 2S=3²⁰⁰⁴-1 S=(3²⁰⁰⁴-1)/2