Deci asa gen de probleme se fac in baza unor observatii.
1)Vom studia ultima cifra cu care se termina y^2+y :
ultima cifra a numarului y ultima cifra a numarului y^2+y
.........0 -> ..............0
.........1 -> ..............2
.........2 -> ..............6
.........3 -> ..............2
.........4 -> ..............0
.........5 -> ..............0
.........6 -> ..............2
.........7 -> ..............6
.........8 -> ..............0
.........9 -> ..............0
Deci observam ca ultima cifra a numarului y^2+y poate fi {0 ,2 ,6}
2) Acum vom studia cu se termina numarul 2^x + 5111
*) Analizam pentru x diferit de 0
Pentru orice numar x diferit de 0 numarul 2^x se va termina doar in cifrele
{2,4,8,6} (ele repetinduse din 4 in 4)
(exemplu : 2 ,4 ,8 ,16, 32, 64,128,256 ....)
Prin urma numarul 2^x+511 se va termina in cifrele (3,5,9,7) dar nici una dintre aceste cifre nu satisface conditiile problemei . (deoarece noi trebuie sa gasim x pentru care 2^x+511 s-ar finisa in 0 sau 2 sau 6 din pasul 1))
*) Analizam pentru x=0
Varianta ramasa x=0 satisface conditiile problemei deoarece 2^0 = 1 iar 5111 + 1 = 5112 (se termina in cifra 2 care apartine multimii {0,2,6})
3) Rezolvam ecuatia patrata
y^2 +y - 5112 = 0
y = 71 sau y=-74
Deoarece y e natural rezulta ca y=71 e singura solutie
Raspuns : x=0, y=71
