Răspuns :
[tex]\it E(x) = \left[\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)^2+\dfrac{2x-6}{x+3} +1\right]\cdot \dfrac{x+3}{2x} \\\;\\ \\\;\\ E(x) = \left[\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)^2+\dfrac{2(x-3)}{x+3} +1\right]\cdot \dfrac{x+3}{2x} [/tex]
Notăm x - 3 = a și x+3 = b, iar expresia din paranteza dreaptă devine:
[tex]\it \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{2a}{b}+1 =\dfrac{a^2+2ab+b^2}{b^2}=\dfrac{(a+b)^2}{b^2} [/tex]
Revenim asupra notației și obținem:
[tex]\it E(x) = \dfrac{(x-3+x+3)^2}{(x+3)^2}\cdot \dfrac{x+3}{2x} =\dfrac{4x^2}{(x+3)\cdot2x} = \dfrac{2x}{x+3}[/tex]
b)
(1/n)·E(n) = (1/n)(2n/n+3) =2/(n+3)
Fracția 2/(n+3) este subunitară, pentru oricare n -natural, deci:
(1/n)·E(n) ∉ ℕ
c)
2x/(x+3)∈ℤ ⇒ x+3|2x (1)
Dar, x+3|x+3⇒ x+3 | 2(x+3) ⇒ x+3 | 2x+6 (2)
Din relațiile (1), (2) ⇒x+3 | 2x+6-2x ⇒ x+3 | 6 ⇒ x+3 ∈ {±1, ±2, ±3, ±6} ⇒
⇒ x+3 ∈ {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} |-3 ⇒ x ∈ {-9, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 3}
