Salut,
Exercițiul 3:
Din prima paranteză, observăm acel model 1·2, 2·3, ..., 1992·1993. Teoretic, ar urma 1993·1994, dar acest produs nu se află în prima paranteză.
Asta ne duce cu gândul că 1987021 ar putea fi produsul 1993·1994.
Împărțim pe 1987021 la 1993: 1987021 = 1993·997 = 1993·1994 / 2 (1).
Știm formula lui Gauss: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2 (2).
Dacă citim relația (2) de la dreapta la stânga, obținem că:
1993·1994 / 2 = 1 + 2 + 3 + ... + 1993.
Prima paranteză devine:
1·2 + 2·3 + ... + 1992·1993 + 1 + 2 + 3 + ... + 1993 = 1 + 1·2 + 2 + 2·3 + 3 + ... + 1992·1993 + 1993 = 1 + 2·(1 + 1) + 3·(2 + 1) + ... + 1993·(1992 + 1) = 1² + 2² + 3² + 1993² .
Asta înseamnă că numărătorul fracției este egal cu numitorul fracției, deci expresia din enunț este egală cu 1.
Problema 1:
D = C·I + r, unde:
D - deîmpărțit ∈ N;
I - împărțitor ∈ N;
C - cât, C ≠ 0 și
r - rest, r ∈ N și 0 ≤ r < I.
Știm din enunț că:
D - r = 6C => D = 6C + r
I = 3C
r > 4.
6C + r = C·3C + r, sau 6C = 3C² | : C ≠ 0, deci 6 = 3C, adică C = 2.
Rezultă că I = 3·C = 3·2 = 6, deci I = 6.
4 < r < I, sau 4 < r < 6, deci r = 5.
Împărțirea este deci:
D = 2·6 + 5 = 17.
17 = 2·6 + 5.
Verificare:
D - r = 17 - 5 = 12 = 6C = 6·2 - adevărat
I = 3C, adică 6 = 3·2, adevărat.
r > 4, adică 5 > 4, adevărat.
Toate condițiile din enunț au fost îndeplinite, deci soluția de mai sus este corectă.
Green eyes.
