Desenem paralelogramul și notăm trigonometric, din stânga sus, ABCD.
Fixăm pe BC punctele N și F, astfel că vom avea ordinea B, N, F, C , iar
latura BC va fi împărțită în trei părți de lungimi egale, adică :
BN = NF = FC = x .
Evident, BC = 3BN = 3x.
Ducem diagonalele paralelogramului, care se intersectează în punctul O.
Ducem segmentul AN și notăm cu M intersecția lui AN cu BO.
Unim punctele O și F.
În triunghiul ANC, avem că F este mijlocul lui NC, iar O este mijlocul lui AC.
Va rezulta că OF este linie mijlocie în triunghiul ANC și deci:
OF = AN/2 (1)
OF || AN (2)
Din relația (2) ⇒ OF || MN ⇒ MN || OF și pentru că N e mijlocul lui BF,
va rezulta că MN este linie mijlocie în triunghiul OBF.
Vom scrie : MN = OF/2 (3)
Din relațiile (1), (3) ⇒ MN = (AN/2)/2 ⇒ MN = AN/4 ⇒ 4MN = AN ⇒
⇒ 4MN = AM + MN ⇒ 4MN - MN = AM ⇒ 3MN = AM ⇒ AM = 3MN
____________________________________________ [q. e. d.]
