[tex]\frac{ \frac{8x-16}{ x^{2} +x+1} }{ \frac{ x^{2} -4x+4}{ x^{3} -1} }[/tex]=
[tex]\frac{ \frac{8(x-2)}{x^{2}+x+1} }{ \frac{ x^{2}-2*2*x+2^{2} }{ (x-1)(x^{2}+x+1)} } =[/tex]=
[tex]\frac{ 8(x-2)}{x^{2}+x+1} }*{ \frac{ (x-1)(x^{2}+x+1) }{ x^{2}-2*2*x+2^{2} }[/tex]=
[tex]\frac{ 8(x-2)}{x^{2}+x+1} }*{ \frac{ (x-1)(x^{2}+x+1) }{ (x-2)^{2} }[/tex]=
[tex]\frac{ 8}{1} }*{ \frac{ x-1 }{ x-2 }[/tex]=
[tex]\frac{ 8*(x-1)}{ x-2} }[/tex]
[tex]E( \frac{1}{2})=\frac{ 8*( \frac{1}{2} -1)}{ \frac{1}{2} -2} }=[/tex]
[tex]\frac{ 8*( 1-\frac{1}{2})}{ 2-\frac{1}{2}} }=[/tex]
[tex]\frac{ 8*\frac{1}{2}}{ \frac{3}{2}} }=[/tex]
[tex]8*\frac{1}{2}}*{ \frac{2}{3}}= \frac{8}{3} [/tex]
Observam mai intai ca x trebuie sa fie diferit de 2 pentru ca numitorul nu poate fi 0.
Pentru ca [tex]\frac{ 8*(x-1)}{ x-2} }[/tex] sa fie un nr nat trebuie ca (x-2)|8*(x-1). Dar cum (x-1) si (x-2) sunt numere consecutive, deci prime intre ele, inseamna ca (x-2)|8, adica (x-2) apartine multimii divizorilor lui 8, deci (x-2) apartine multimii {1,2,4,8} si dand, pe rand, valori lui x-1 obtinem:
x apartine multimii {3, 4, 6, 10} pentru care E(x) ia, pe rand, valorile naturale: {16, 12, 10, 9}
