Desenez triunghiul isoscel ABC și notez AB = AC = x, BC = 2y.
Duc înălțimea AD, care este și mediană ⇒ BD = DC = y.
Cu T. Pitagora ⇒ AD = √(x² - y²) = √(x-y)(x+y)
Dacă S este suprafața triunghiului, atunci:
2S = BC · AD ⇒ 2S = 2y√(x-y)(x+y) (1)
Dar, 2S = 2·p·r =2(x+y)·1,5 ⇒ 2S = 3(x + y) (2)
(1),(2) ⇒ x+y= (4/9)y²(x - y) (3)
Știm că S = (abc)/4R, care transpus în cazul triunghiului dat, devine :
S = (2x²y)/4R ⇒ S/2 = (2x²y)/8R ⇒ S/2 = (2x²y)/8·3,125 ⇒
⇒S = (4x²y)/25 (4)
(1), (4) ⇒ 4x² = 25√(x-y)(x+y) (5)
(3), (5) ⇒ 6x² - 25xy + 25y² = 0 |:y² ⇒ 6(x/y)² -25(x/y)+25=0
Notez x/y=t și ecuația devine: 6t² - 25t +25 = 0
După rezolvare obțin t = 5/3 și t = 5/2.
Revin asupra notației și rezultă :
x/y= 5/3 ⇒ x = 5y/3 (6)
x/y = 5/2 ⇒ x = 5y/2 (7)
(3), (6) ⇒ y = 3, x = 5, adică AB=AC=5cm, BC = 2·3 =6 cm
(3), (7) ⇒ y = (√21)/2, x = (5√21)/4, adică :
AB = AC = (5√21)/4cm, BC = 2y = √21cm
..
