Construim NP perpendicular pe AB, unde P apartine AB, deci AP este proiectia lui MN pe AM sau, altfel, MNPA este dreptunghi, deci [MN]=[AP] si [AM]=[PN].
In triunghiul NPB dreptunghic in P avem m(<PBN)=60 grade, deci m(<PNB)=30 grade, prin urmare PB, cateta opusa unghiului de 30 de grade va fi jumatate din ipotenuza NB (presupun ca iti este cunoscut acest rezultat).
Notam cu a=[PB], deci [AB]=7+a, pentru ca MNPA este dreptunghi, deci [MN]=[AP]. (rel 1)
[NB]=2*a, iar [NP]=a*[tex] \sqrt{3} [/tex];
Cum MNPA este dreptunghi, vom avea
[NP]=[AM]=a*[tex] \sqrt{3} [/tex] si cum N si M sunt mijloacele lui BC, respectiv AD, inseamna ca
[AM]=[MD]=a*[tex] \sqrt{3} [/tex], adica
[AD]=2*a*[tex] \sqrt{3} [/tex] (rel 2)
In triunghiul ABC dreptughic in C ai m(<B)=60 grade, deci m(<BAC)=90-60=30 grade.
In trapez, unghiul din A are 90 grade si am calculat mai sus ca m(<BAC)=30 grade, deci m(<DAC)=90-30=60 grade. Deci cateta AD se opune unghiului de 30 grade in triunghiul ADC dreptunghic in D, deci este jumatate din ipotenuza AC, adica [AC]=2*2*a*[tex] \sqrt{3} [/tex]=4*a*[tex] \sqrt{3} [/tex] ( din rel 2)
Aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ACD dreptunghic in D obtinem
[CD]=6*a (rel 3)
Din rel 1 si 3, folosind proprietatea liniei mijlocii in trapez, avem
MN=(CD+AB)/2, adica
7=(6*a+7+a)/2 si facand calculele obtinem
14=7(a+1)
a+1=2
a=1
Deci [AB]=7+1=8 cm
[CD]=6*1=6 cm
