Mai întâi vom pune o condiție de existență :
[tex]\it \sqrt{x-5} \Longrightarrow x-5\geq0 \Longrightarrow x \geq 5 \ \ \ \ (1)[/tex]
[tex]\it (1) \Longrightarrow 2x\geq10|_{-3} \Longrightarrow 2x-3\geq 7 \Longrightarrow \sqrt{2x-3}\geq \sqrt7\ \textgreater \ 2\ \ \ \ (2)[/tex]
Acum analizăm expresiile din ecuație :
[tex]\it x-1+4\sqrt{x-5} = x-5+4+4\sqrt{x-5}=[/tex]
[tex]\it= (\sqrt{x-5})^2 +4\sqrt{x-5} +2^2 = (\sqrt{x-5}+2)^2\ \ \ \ \ (3)[/tex]
[tex]\it 2x+1-4\sqrt{2x-3} = 2x-3+4-4\sqrt{2x-3} = [/tex]
[tex]\it =(\sqrt{2x-3})^2-4\sqrt{2x-3} +2^2 = (\sqrt{2x-3}-2)^2 \ \ \ \ (4)[/tex]
Din (3), (4) ecuația devine :
[tex]\it \sqrt{(\sqrt{x-5}+2)^2} + \sqrt{(\sqrt{2x-3}-2)^2} =4\Longleftrightarrow[/tex]
[tex]\it \Longleftrightarrow |\sqrt{x-5}+2| + |\sqrt{2x-3}-2| = 4[/tex]
Ținând seama de relația (2), ecuația devine:
[tex]\it\sqrt{x-5} +2+\sqrt{2x-3}-2 = 4 \Longleftrightarrow \sqrt{x-5} +\sqrt{2x-3} = 4\ \ \ (*)[/tex]
Relația (1) ne permite să încercăm x= 6 ecuația (*).
Vom constata că x= 6 este soluție.
Observație:
Pentru a stabili că ecuația dată are numai soluția x = 6, va trebui să rezolvăm
ecuația (*), punând condiții de existență și eliminând radicalii
prin ridicări la puterea a 2-a.
