a) cum [tex]4^{2011}=(3+1)^{2011}={\cal{M} }3+1[/tex], restul e 1.
b) [tex]4^{2011}=2^{4022}\ \textgreater \ 10^{1206}=2^{1206}\cdot 5^{1206}, \textrm{deoarece}\\
2^{2816}\ \textgreater \ 2^{2814}=(2^7)^{402}\ \textgreater \ (5^3)^{402}=5^{1206},[/tex] deci numarul are cel puțin 1207 cifre.
c) Suma cifrelor numărului final e aceeași modulo 3 cu suma cifrelor numărului inițial. Dacă toate cifrele ar fi diferite, suma lor ar fi 0+1+...+9=45, care se divide cu 3. Dar numărul inițial nu se divide cu 3, deci nici suma cifrelor sale.
