Răspuns :
Din teorema sinusurilor stim ca
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]a=2R\sin{A}[/tex]
[tex]b=2R\sin{B}[/tex]
[tex]c=2R\sin{C}[/tex]
Atunci prima ecuatie devine
[tex]2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}[/tex] impartim prin 2R
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60[/tex]
Mai stim ca
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Si mai stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=\cos{x}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}[/tex]
Mai stim urmatoarea relatie
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/tex] atunci
[tex]\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]a=2R\sin{A}[/tex]
[tex]b=2R\sin{B}[/tex]
[tex]c=2R\sin{C}[/tex]
Atunci prima ecuatie devine
[tex]2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}[/tex] impartim prin 2R
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60[/tex]
Mai stim ca
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Si mai stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=\cos{x}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}[/tex]
Mai stim urmatoarea relatie
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/tex] atunci
[tex]\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.
