245)
[tex]\it tg \alpha + ctg \alpha =\dfrac{sin \alpha}{cos \alpha} + \dfrac{cos \alpha}{sin \alpha} = \dfrac{sin^2 \alpha+cos^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha} = \dfrac{1}{sin \alpha cos \alpha} \ \ \ (*)[/tex]
Dar,
[tex]\it tg \alpha + ctg \alpha = 2\ \ \ (**)[/tex]
Din relațiile (*), (**) rezultă:
[tex]\it 2 = \dfrac{1}{sin \alpha cos \alpha} \Longrightarrow 2sin \alpha cos \alpha =1 \Longrightarrow sin2 \alpha = 1 .[/tex]
254) Să se demonstreze că:
[tex]\it sin{\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}[/tex]
--------------------------------------------------------------------------------
Transformăm egalitatea din enunț și vom arăta că aceasta
este echivalentă cu o egalitate evident adevărată.
Obținem:
[tex]\it \sin^2 {\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{2-\sqrt2}{4} [/tex]
Cu formula fundamentală a trigonometriei, rezultă:
[tex]\it \cos^2 {\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{2+\sqrt2}{4}
[/tex]
Acum folosim formula : sin2x = 2sinx·cosx⇒sin²2x = 4 sin²x·cos²x
[tex]\it sin^2\dfrac{\pi}{4} = sin^2 (2\cdot\dfrac{\pi}{8}) = 4 \sin^2\dfrac{\pi}{8}cos^2\dfrac{\pi}{8} =4\dfrac{2-\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{4}\ \ \ (*)[/tex]
Dar,
[tex]\it sin^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}\ \ \ (**)[/tex]
Din relațiile (*), (**), rezultă:
[tex]\it \dfrac{1}{2} =4\dfrac{2-\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} =\dfrac{4-2}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2} \ (A)[/tex]
