n este un nr natural, inseamna ca si 5n+2 este un nr natural. Stim ca radical dintr-un nr natural este tot un nr natural, deci rational, daca si numai daca acel nr natural este un patrat perfect adica
[tex]5n+2=k^{2}[/tex] unde k e un nr natural.
Ne uitam care este ultima cifra a numerelor ridicate la patrat
0*0=0
1*1=1
2*2=4
3*3=9
4*4=6(ultima cifra din 16)
5*5=5(25)
6*6=6(36)
7*7=9(49)
8*8=64(ultima cifra 4)
9*9=81(ultima cifra 1)
Observi ca de pe lista lipsesc 2 numere: 2 si 7
Hai sa ne uitam la ultima cifra a numarului nostru
5n are ultima cifra 0 sau 5
1) daca este 0, atunci 5n+2 are ultima cifra 2, deci nu poate fi patrat perfect
2) daca este 2, atunci 5n+2 are ultima cifra 7, deci nu poate fi patrat perfect
Asadar 5n+2 nu poate fi patrat perfect atunci radical din acest numar este irational.
