Înțeleg că trebuie calculată expresia
[tex]\frac{1}{\log_x 2\cdot\log_x 4}+\frac{1}{\log_x 4\cdot\log_x 8}+\ldots +\frac{1}{\log_x 2^{n-1}\cdot\log_x 2^n}-\frac{n-1}{n\log_x^2 2}[/tex]
Argumentele logaritmilor sunt puteri ale lui 2.
Avem, în general, [tex]\log_x 2^k=k\log_x 2[/tex].
Atunci suma pînă la penultimul termen al expresiei este
[tex]\frac{1}{2\log_x^2 2}+\frac{1}{2\cdot 3\log_x^2 2}+\ldots +\frac{1}{(n-1)\cdot n\cdot\log_x^2 2}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{\log_x^2 2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)n}\right)=\frac{1}{\log_x^2 2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=[/tex]
[tex]=\frac{1}{\log_x^2 2}\cdot\frac{n-1}{n}[/tex]
Atunci, ținând cont și de ultimul termen al expresiei (cel care se scade la sfârșit), expresia este egală cu 0.
