Atunci cand inmultesti 2 vectori a si b, produsul lor scalar sa zicem c are urmatoarea formula
[tex]c=\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos{\alpha}[/tex]
unde primii doi termeni sunt modulele vectorilor a si b iar al trelea este cosinusul unghiului dintre cei doi vectori notat cu alpha
Observi ca daca avem produsul scalar dintre un vector si el insusi
[tex]c=\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{a}|*\cos{0}=|\vec{a}|^{2}*1=|\vec{a}|^{2}[/tex]
Stiind aceste lucruri, hai sa ridicam la patrati relatia data in enunt
[tex]\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AC}\Rightarrow (\vec{AB}+\vec{AC})^{2}=(\vec{AB}-\vec{AC})^{2}\Rightarrow \vec{AB}^{2}+\vec{AC}^{2}+2\vec{AB}*\vec{AC} =\vec{AB}^{2}+\vec{AC}^{2}-2\vec{AB}*\vec{AC} =\Rightarrow|\vec{AB}|^{2}+|\vec{AC}|^{2}+2|\vec{AB}|*|\vec{AC}|\cos{\alpha}=|\vec{AB}|^{2}+|\vec{AC}|^{2}-2|\vec{AB}|*|\vec{AC}|\cos{\alpha}[/tex]
Dar stim ca
[tex]|\vec{AB}|=AB[/tex]
[tex]|\vec{AC}|=AC[/tex]
atunci
[tex]AB^{2}+AC^{2}+2AB*AC*\cos{\alpha}=AB^{2}+AC^{2}-2AB*AC*\cos{\alpha}\Rightarrow 2AB*AC*\cos{\alpha}=-2AB*AC*\cos{\alpha}\Rightarrow 4*AB*AC*\cos{\alpha}=0\Rightarrow\cos{\alpha}=0\Rightarrow\alpha=90[/tex]
deci unghiul dintre AB si AC este de 90 grade, atunci BAC este dreptunghic cu catetele AB si AC.
