Răspuns :
Observam dupa valorile din modul ca avem trei cazuri limita
1) [tex]x\leq -a[/tex] In acest caz, ambele module vor fi negative
[tex]|x+a|=-(x+a)[/tex]
[tex]|x-a^{2}|=-(x-a^{2})[/tex]
Deci avem
[tex]-(x+a)-(x-a^{2})\geq a^{2}+a\Rightarrow -x-a-x+a^{2}\geq a^{2}+a \Rightarrow -2x\geq 2a\Rightarrow x\leq -a[/tex] care este exact conditia de la care am pornit, deci este adevarat
2) [tex]-a<x<a^{2}[/tex] Atunci
[tex]|x+a|=x+a[/tex]
[tex]|x-a^{2}|=-(x-a^{2})[/tex]
Deci avem
[tex]x+a-(x-a^{2})\geq a^{2}+a\Rightarrow a+a^{2}\geq a+a^{2}[/tex]
Ceea ce evident este adevarat
3)[tex]x\geq a^{2}[/tex] Atunci
[tex]|x+a|=x+a[/tex]
[tex]|x-a^{2}|=x-a^{2}[/tex]
Deci avem
[tex]x+a+x-a^{2}\geq a^{2}+a\Rightarrow 2x+a-a^{2}\geq a+a^{2}\Rightarrow 2x\geq 2a^{2}\Rightarrow x\geq a^{2}[/tex]
Deci si aceasta relatie e adevarata, asta e conditia de la care am pornit
demonstrand ca relatia este adevarata pe tot intervalul R, inseamna ca este adevarata pentru orice X si orice numar natural a. Observi ca o alta relatie care ar trebui demonstrata este faptul ca
[tex]-a\leq a^{2}[/tex] ca sa putem avea toate cele trei intervale, dar asta este evident pentru numere naturale
b) Aplicam relatia a pentru numerele naturale de la 1 la n
[tex]|x+1|+|x-1^{2}|\geq 1^{2}+1[/tex]
[tex]|x+2|+|x-2^{2}|\geq 2^{2}+2[/tex]
...........................................................
[tex]|x+n|+|x-n^{2}|\geq n^{2}+n[/tex]
Adunam aceste n inecualitati
[tex]|x+1|+|x-1^{2}|+|x+2|+|x-2^{2}|+...+|x+n|+|x-n^{2}|\geq 1^{2}+1+2^{2}+2+...n^{2}+n[/tex] Notam termenul din dreapta cu X si observam ca este suma primelor n numere si suma primelor n numere patrate perfecte
[tex]X=1+2+..+n+1^{2}+2^{2}+...+n^{2}[/tex]
Suma primelor n numere naturale este
[tex]1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Suma primelor n numere patrate perfecte
[tex]1^{2}+2^{2}+..+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Adunam cele doua sume pentru a afla X
[tex]X=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=n(n+1)(\frac{1}{2}+\frac{2n+1}{6})=n(n+1)\frac{(3+2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
Stiind ca X este mai mare sau egal decat suma modulelor, reiese exact relatia de la punctul b.
1) [tex]x\leq -a[/tex] In acest caz, ambele module vor fi negative
[tex]|x+a|=-(x+a)[/tex]
[tex]|x-a^{2}|=-(x-a^{2})[/tex]
Deci avem
[tex]-(x+a)-(x-a^{2})\geq a^{2}+a\Rightarrow -x-a-x+a^{2}\geq a^{2}+a \Rightarrow -2x\geq 2a\Rightarrow x\leq -a[/tex] care este exact conditia de la care am pornit, deci este adevarat
2) [tex]-a<x<a^{2}[/tex] Atunci
[tex]|x+a|=x+a[/tex]
[tex]|x-a^{2}|=-(x-a^{2})[/tex]
Deci avem
[tex]x+a-(x-a^{2})\geq a^{2}+a\Rightarrow a+a^{2}\geq a+a^{2}[/tex]
Ceea ce evident este adevarat
3)[tex]x\geq a^{2}[/tex] Atunci
[tex]|x+a|=x+a[/tex]
[tex]|x-a^{2}|=x-a^{2}[/tex]
Deci avem
[tex]x+a+x-a^{2}\geq a^{2}+a\Rightarrow 2x+a-a^{2}\geq a+a^{2}\Rightarrow 2x\geq 2a^{2}\Rightarrow x\geq a^{2}[/tex]
Deci si aceasta relatie e adevarata, asta e conditia de la care am pornit
demonstrand ca relatia este adevarata pe tot intervalul R, inseamna ca este adevarata pentru orice X si orice numar natural a. Observi ca o alta relatie care ar trebui demonstrata este faptul ca
[tex]-a\leq a^{2}[/tex] ca sa putem avea toate cele trei intervale, dar asta este evident pentru numere naturale
b) Aplicam relatia a pentru numerele naturale de la 1 la n
[tex]|x+1|+|x-1^{2}|\geq 1^{2}+1[/tex]
[tex]|x+2|+|x-2^{2}|\geq 2^{2}+2[/tex]
...........................................................
[tex]|x+n|+|x-n^{2}|\geq n^{2}+n[/tex]
Adunam aceste n inecualitati
[tex]|x+1|+|x-1^{2}|+|x+2|+|x-2^{2}|+...+|x+n|+|x-n^{2}|\geq 1^{2}+1+2^{2}+2+...n^{2}+n[/tex] Notam termenul din dreapta cu X si observam ca este suma primelor n numere si suma primelor n numere patrate perfecte
[tex]X=1+2+..+n+1^{2}+2^{2}+...+n^{2}[/tex]
Suma primelor n numere naturale este
[tex]1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Suma primelor n numere patrate perfecte
[tex]1^{2}+2^{2}+..+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Adunam cele doua sume pentru a afla X
[tex]X=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=n(n+1)(\frac{1}{2}+\frac{2n+1}{6})=n(n+1)\frac{(3+2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
Stiind ca X este mai mare sau egal decat suma modulelor, reiese exact relatia de la punctul b.
[tex]Punctul~a)~reprezinta~doar~un~caz~particulae~al~inegalitii \\ \\ modulelor:~|x|+|y| \geq |x \pm y|. \\ \\ In~cazul~nostru~avem:~|x+a|+|x-a^2| \geq |a^2+a|.....(1) \\ \\ Cum~a \in \mathbb{N},~rezulta~ca~a^2+a \geq 0 \Rightarrow |a^2+a|=a^2+a.....(2) \\ \\ Tinand~cont~de~relatiile~(1)~si~(2),~rezulta~concluzia.[/tex]
[tex]\displaystyle b)~Folosind~punctul~anterior,~avem: \\ \\ \sum\limits^{n}_{k=1} |x+k|+ \sum^{n}_{k=1}|x-k^2|= \sum\limits^{n}_{k=1} \left( |x+k|+|x-k^2|\right) \geq \sum\limits^{n}_{k=1} \left( k^2+k\right)= \\ \\ = \sum\limits^{n}_{k=1}k^2+ \sum\limits^{n}_{k=1}k= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{n(n+1)}{2}= \\ \\ =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.[/tex]
[tex]\displaystyle b)~Folosind~punctul~anterior,~avem: \\ \\ \sum\limits^{n}_{k=1} |x+k|+ \sum^{n}_{k=1}|x-k^2|= \sum\limits^{n}_{k=1} \left( |x+k|+|x-k^2|\right) \geq \sum\limits^{n}_{k=1} \left( k^2+k\right)= \\ \\ = \sum\limits^{n}_{k=1}k^2+ \sum\limits^{n}_{k=1}k= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{n(n+1)}{2}= \\ \\ =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.[/tex]
