Stim formulele pentru raza cercului circumscris [tex]R=\frac{abc}{4S}[/tex] unde S este aria triunghiului si raza cercului inscris [tex]r=\frac{S}{p}[/tex] S este aria triunghiului si p este semiperimetrul cercului adica [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] Ne uitam la inegalitate cu aceste formule [tex]\frac{abc}{4S}\geq 2\frac{S}{p}\Rightarrow p*abc\geq 8S^{2}[/tex] Dar stim ca aria unui triunghi poate fi scrisa conform formulei lui Heron [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] Asa ca avem acum urmatoarea inegalitate [tex]p*abc\geq 8*p*(p-a)*(p-b)*(p-c)\Rightarrow abc\geq 8(p-a)*(p-b)*(p-c)[/tex] Facem urmatoarele notari [tex]x=p-a\Rightarrow a=p-x[/tex] [tex]y=p-b\Rightarrow b=p-y[/tex] [tex]z=p-c\Rightarrow c=p-z[/tex] Atunci, stim ca p va fi egal in functie de x,y si z [tex]x+y+z=p-a+p-b+p-c=3p-(a+b+c)=3p-2p=p[/tex] Facem inlocuirile in inegalitate [tex](p-x)(p-y)(p-z)\geq 8*xyz[/tex] Ne uitam acum la termenul din partea stanga [tex](p-x)(p-y)(p-z)=(p^{2}-p(x+y)+xy)(p-z)=p^{3}-p^{2}z-p^{2}(x+y)-pz(x+y)+p*xy-xyz=p^{3}-p^{2}(x+y+z)+p(xy+yz+zx)-xyz=p^{3}-p^{2}*p+p(xy+yz+zx)-xyz=p(xy+yz+zx)-xyz[/tex] Inlocuim acum in formula principala, stiind ca x+y+z=p [tex]p(xy+yz+zx)-xyz\geq 8xyz\Rightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz\Rightarrow (x^{2}y+xyz+x^{2}z+x*y^{2}+y^{2}z+xyz+xyz+yz^{2}+xz^{2})\geq 9xyz\Rightarrow (x^{2}y+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+yz^{2}+xz^{2})\geq 6xyz[/tex] Observam ca aici sunt trei inegalitati de forma [tex]x^{2}y+yz^{2}\geq 2xyz=y(x^{2}+z^{2})\geq 2xyz[/tex] Care este evidenta, egalitatea atinsa cand x=y=z
