Consideram ipoteza urmatoare adevarata:
[tex]\frac{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}}{2}=\frac{a+b}{c+d}[/tex]
[tex]\frac{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}}{2}=\frac{ad+bc}{2cd}[/tex]
Consideram c=d atunci avem:
[tex]\frac{c(a+b)}{2c^{2}}=\frac{a+b}{2c}=\frac{a+b}{c+d}[/tex]
Ipoteza este adevarata pentru c=d
Consideram [tex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}[/tex]
Deci [tex]ad=bc[/tex]
Inlocuind in relatie avem:
[tex]\frac{2ad}{2cd}=\frac{a}{c}[/tex]
[tex]\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a(c+d)=c(a+b)\Leftrightarrow ac+ad=ac+bc\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ad=bc(ipoteza)[/tex]
Deci ipoteza este adevarata pentru ad=bc.
Acum mai trebuie sa demonstram ca ipoteza pe caz general este falsa daca cele 2 conditii nu sunt indeplinite(a/b=c/d sau c=d)
[tex]\frac{ad+bc}{2cd}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow[/tex]
[tex](c+d)(ad+bc)=2cd(a+b)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]acd+bc^{2}+ad^{2}+bcd-2acd-2bcd=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]bc^{2}+ad^{2}-acd-bcd=0[/tex]
Ipoteza este falsa daca ad diferit de bc sau c diferit de d
Sunt putin cam prost,trebuia sa ajung la forma asta a ecuatiei si de aici sa deduc egalitatea numai pentru ecuatiile date.
