👤
Antomarie
a fost răspuns

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia [tex] lg^{2} x^{2} + 3lg \frac{1}{x} = 1[/tex]

Răspuns :

Cristinatibulca
x>0
(lgx²)²+3lgx⁻¹=1
(2lgx²)²-3lgx=1
4lgx²-3lgx-1=0
lgx=t
4t²-3t-1=0
t1=1, lgx=1, x=10
t2=-1/2, lgx=-1/2 imposibil
[tex]\it \lg^2x^2+3\lg\dfrac{1}{x} =1 [/tex]

 Condiția de existență a ecuației este x > 0

  Ecuația se mai poate scrie:

[tex]\it (\lg x^2)^2 +3\lg x^{-1} -1 = 0 \Rightarrow (2\lg x)^2+3\cdot(-1) \lg x -1 =0[/tex]

[tex]\Rightarrow \it 4\lg^2 x -3 \lg x -1 = 0[/tex]


Notăm  lg x = t  și ecuația devine:

[tex]\it 4t^2 - 3t -1 = 0[/tex]

Intuim că t = 1 este o soluție.

Descompunem în factori partea dreaptă a ecuației :

[tex]\it 4t^2-3t-1 = 0 \Leftrightarrow 4t^2-4t+t-1 = 0 \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow \it 4t(t-1)+(t-1) = 0 \Leftrightarrow (t-1)(4t+1) = 0[/tex]

[tex]\it 4t+1 = 0 \Longrightarrow t =-\dfrac{1}{4}[/tex]

[tex]\it t-1 = 0 \Longrightarrow t = 1[/tex]

Revenim asupra notației și obținem:

[tex]\it \lg x =-\dfrac{1}{4} \Longrightarrow x = 10^{-\dfrac{1}{4}}[/tex]

[tex]\it \lg x = 1 \Longrightarrow x =10[/tex]