I) Scriem ecuația (așa cum ar apărea și în cartea de mate):
[tex]\it\left(\dfrac{x}{x-1}+x-2\right) \left(100^{\lg (x-1)}-2)=0[/tex]
II) Prelucram expresia din prima paranteza:
[tex]\it\dfrac{x}{x-1}+x-2 =\dfrac{x+x^2-x-2x+2}{x-1}=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}=
[/tex]
[tex]\it =\dfrac{x^2-2x+1+1}{x-1} =\dfrac{(x+1)^2+1}{x-1}\ \ne\ 0, \forall x\in\mathbb{R} - \{1\}[/tex]
III) Ecuatia devine:
[tex]\it100^{\lg (x-1)} - 2 =0 \Rightarrow 10^{2\lg (x-1)} = 2 \Rightarrow \lg 10^{2\lg (x-1)} = \lg2[/tex]
[tex]\it \Rightarrow 2\lg(x-1) \lg 10 =\lg 2 \Rightarrow 2\lg(x-1) =\lg 2|_{\cdot\frac{1}{2}}
[/tex]
[tex]\it\lg (x-1) =\dfrac{1}{2} \lg2 \Rightarrow \lg (x-1) = \lg2^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x-1 = \sqrt2 \Rightarrow x = 1+\sqrt2[/tex]
Observatie:
Ecuatia logaritmica de mai sus are conditia de existenta :
x - 1 > 0 ⇒ x > 1
[tex]\it x = 1+\sqrt2 \ \textgreater \ 1, \ deci,\ x = 1+\sqrt2 \ este \ solutie\ a\ ecuatiei\ date . [/tex]
